О промежуточных значениях нижней размерности квантования

Известно, что нижняя размерность квантования $\underline{D}(\mu)$ борелевской вероятностной меры $\mu$, заданной на метрическом компакте $(X,\rho)$, не превосходит нижней емкостной размерности $\underline{\dim}_BX$ компакта $X$. Доказана следующая теорема о промежуточных значениях нижней размерности квантования вероятностных мер: для любого неотрицательного числа $a$, меньшего размерности $z\underline{\dim}_BX$ компакта $X$, на $X$ существует вероятностная мера $\mu_a$ с носителем, равным $X$, для которой $\underline{D}(\mu_a)=a$. Величина $z\underline{\dim}_BX$ характеризует асимптотическое поведение нижней емкостной размерности замкнутых $\varepsilon$-окрестностей нульмерных в смысле $\dim_B$ замкнутых подмножеств компакта $X$ при $\varepsilon\to 0$. Для широкого класса метрических компактов имеет место равенство $z\underline{\dim}_BX=\underline{\dim}_BX$. Библиография: 7 названий. It is well known that the lower dimension $\underline{D}(\mu)$ of quantization of a Borel probability measure $\mu$ given on a metric compactum $(X,\rho)$ does not exceed the lower capacitive dimension $\underline{\dim}_BX$ of $X$. We prove the following theorem on the intermediate values of the lower dimension of quantization of probability measures: for any nonnegative number $a$ smaller that the dimension $z\underline{\dim}_BX$ of the compactum $X$, there exists a probability measure $\mu_a$ on $X$ with support $X$ such that $\underline{D}(\mu_a)=a$. The number $z\underline{\dim}_BX$ characterizes the asymptotic behavior of the lower capacitive dimension of closed $\varepsilon$-neighborhoods of zero-dimensional, in the sense of $\dim_B$, closed subsets of $X$ as $\varepsilon\to 0$. For a wide class of metric compacta, the equality $z\underline{\dim}_BX=\underline{\dim}_BX$ holds.