Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов неотрицательной гладкости

Цель работы - изучить пространства мультипликаторов, действующих из одного пространства бесселевых потенциалов $H^s_p(\mathbb{R}^n)$ в другое пространство бесселевых потенциалов $H^t_q(\mathbb{R}^n)$. Найдены условия, обеспечивающие эквивалентность равномерной и стандартной мультипликаторных норм на пространстве мультипликаторов $$ M[H^s_p(\mathbb{R}^n) \to H^t_q(\mathbb{R}^n)]\qquad при\quad s,t \in \mathbb{R},\quad p,q > 1. $$ В случае $$ p,q > 1,\qquad p \leqslant q,\qquad s > \frac np,\qquad t \geqslant 0,\qquad s-\frac np \geqslant t-\frac nq $$ пространство $M[H^s_p(\mathbb{R}^n) \to H^t_q(\mathbb{R}^n)]$ удается описать явно. А именно, в работе доказано, что оно совпадает с введенным Р. С. Стрихартцем пространством $H^t_{q,\mathrm{unif}}(\mathbb{R}^n)$ равномерно локализованных бесселевых потенциалов. Доказано также, что если оба показателя гладкости $s$ и $t$ неотрицательны, то такое описание возможно только при указанных значениях индексов. Библиография: 16 названий. The aim of the paper is to study spaces of multipliers acting from the Bessel potential space $H^s_p(\mathbb{R}^n)$ to the other Bessel potential space $H^t_q(\mathbb{R}^n)$. We obtain conditions ensuring the equivalence of uniform and standard multiplier norms on the space of multipliers $$ M[H^s_p(\mathbb{R}^n) \to H^t_q(\mathbb{R}^n)]\qquad for\quad s,t \in \mathbb{R},\quad p,q > 1. $$ In the case $$ p,q > 1,\qquad p \le q,\qquad s > \frac np,\qquad t \ge 0,\qquad s-\frac np \ge t-\frac nq, $$ the space $M[H^s_p(\mathbb{R}^n) \to H^t_q(\mathbb{R}^n)]$ can be described explicitly. Namely, we prove in this paper that the latter space coincides with the space $H^t_{q,\mathrm{unif}}(\mathbb{R}^n)$ of uniformly localized Bessel potentials introduced by Strichartz. It is also proved that if both smoothness indices $s$ and $t$ are nonnegative, then such a description is possible only for the given values of the indices.