Бесконечномерные $p$-адические группы, полугруппы двойных классов смежности и внутренние функции на ансамблях Брюа-Титса

Строятся $p$-адические аналоги операторных узлов и их характеристических функций. Рассмотрена $p$-адическая группа $\mathbf G=\mathrm{GL}(\alpha+k\infty,\mathbb Q_p)$, ее подгруппа $L=\mathrm O(k\infty,\mathbb Z_p)$ и подгруппа $\mathbf K=\mathrm O(\infty,\mathbb Z_p)$, вложенная в $L$ по диагонали. Показано, что множество двойных классов смежности $\Gamma=\mathbf K\setminus\mathbf G/\mathbf K$ обладает структурой полугруппы, $\Gamma$ естественным образом действует в пространстве всех $\mathbf K$-неподвижных векторов любого унитарного представления группы $\mathbf G$. Каждому двойному классу смежности поставлена в соответствие "характеристическая функция" - отображение, которое переводит некоторый ансамбль Брюа-Титса в другой ансамбль (ансамбли конечномерны); образ остова содержится в остове. Второй ансамбль обладает структурой полугруппы (Назарова), произведение в $\Gamma$ соответствует поточечному умножению характеристических функций. Библиография: 45 наименований. We construct $p$-adic analogues of operator colligations and their characteristic functions. Consider a $p$-adic group $\mathbf G=\mathrm{GL}(\alpha+k\infty,\mathbb Q_p)$, a subgroup $L=\mathrm O(k\infty,\mathbb Z_p)$ of $\mathbf G$ and a subgroup $\mathbf K=\mathrm O(\infty,\mathbb Z_p)$ which is diagonally embedded in $L$. We show that the space $\Gamma=\mathbf K\setminus\mathbf G/\mathbf K$ of double cosets admits the structure of a semigroup and acts naturally on the space of $\mathbf K$-fixed vectors of any unitary representation of $\mathbf G$. With each double coset we associate a ‘characteristic function’ that sends a certain Bruhat-Tits building to another building (the buildings are finite-dimensional) in such a way that the image of the distinguished boundary lies in the distinguished boundary. The second building admits the structure of a (Nazarov) semigroup, and the product in $\Gamma$ corresponds to the pointwise product of characteristic functions.