Операционное исчисление для преобразования Фурье на группе $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ и задача о действии надалгебры в планшерелевском разложении

Рассматривается преобразование Фурье на группе $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ вещественных матриц порядка $2$. Мы показываем, что Фурье-образы дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами на $\operatorname{GL}2,\mathbb{R})$ являются дифференциально-разностными операторами с коэффициентами, мероморфными по параметрам представлений. Выражения для операторов содержат сдвиги в мнимом направлении по отношению к контуру интегрирования в формуле Планшереля. Мы приводим явные формулы для образов частных дифференцирований и умножений на координаты. The Fourier transform on the group $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ of real $2\times2$ matrices is considered. It is shown that the Fourier images of polynomial differential operators on $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ are differential-difference operators with coefficients meromorphic in the parameters of representations. Expressions for operators contain shifts in the imaginary direction with respect to the integration contour in the Plancherel formula. Explicit formulas for the images of partial derivations and multiplications by coordinates are presented.