Решение систем линейных уравнений булева типа с искаженной правой частью над полем действительных чисел

В работе рассматривается задача решения системы линейных уравнений с искаженной правой частью в следующей постановке. Известны случайная $m\times N$-матрица $A$ с элементами из $\{-1,1\}$ и вектор $xA+\xi\in \mathbf{R}^N$, где $\xi$ - вектор искажений из $\mathbf{R}^N$, элементы которого являются независимыми реализациями нормально распределенной случайной величины с параметрами $0$ и $\sigma^2$, а $x$ - случайный вектор с координатами из $\{-1,1\}$. Искомым параметром является вектор $x$. В работе предложен метод построения множества, содержащего искомый вектор с вероятностью не менее заданной, и оценена мощность этого множества. Теоретические расчеты параметров метода иллюстрируются результатами экспериментов, демонстрирующими практическую реализуемость метода при значениях параметров, не допускающих полный перебор всех возможных значений $x$. The paper is concerned with the problem of solution of a system of linear equations with noisy right-hand side in the following setting: one knows a random $m\times N$-matrix $A$ with entries from $\{-1,1\}$ and a vector $xA+\xi\in \R^N$, where $\xi$ is the noise vector from $\R^N$, whose entries are independent realizations of a normally distributed random variable with parameters $0$ and $\sigma^2$, and $x$ is a random vector with coordinates from $\{-1,1\}$. The sought-for parameter is the vector $x$. We propose a method for constructing a set containing the sought-for vector with probability not smaller than the given one and estimate the cardinality of this set. Theoretical calculations of the parameters of the method are illustrated by experiments demonstrating the practical implementability of the method for cases when direct enumeration of all possible values of $x$ is unfeasible.