О минимальном числе отрицаний при реализации систем функций многозначной логики

Рассматривается задача о сложности реализации функций $k$-значной логики схемами в бесконечных полных базисах, содержащих все монотонные функции; вес монотонных функций (стоимость использования) считается равным $0$. Для сложности реализации булевых функций в случае, когда единственным немонотонным элементом базиса является отрицание, исчерпывающее описание было получено А. А. Марковым. В 1957 году он установил, что минимальное число отрицаний, достаточное для реализации произвольной булевой функции $f$ (инверсионная сложность функции $f$), равно $\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil$, где $d(f)$ — максимальное (максимум берется по всем возрастающим цепям наборов значений переменных) число изменений значений функции с бо́льшего значения на меньшее. В данной работе этот результат обобщен на случай вычисления функций $k$-значной логики. Установлено, что минимальное число отрицаний, достаточное для вычисления произвольной функции $k$-значной логики $f$, равно $\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil$, если под отрицанием понимается отрицание Поста (т. е. функция $x+1 \pmod{k}$), и равно $\lceil\log_{k}(d(f)+1)\rceil$, если под отрицанием понимается отрицание Лукасевича (т. е. функция $k-1 - x$). Также получено аналогичное обобщение другого классического результата А. А. Маркова - об инверсионной сложности систем булевых функций - на случай систем функций $k$-значной логики. The paper is concerned with the complexity of realization of $k$-valued logic functions by logic circuits over an infinite complete bases containing all monotone functions; the weight of monotone functions (the cost of use) is assumed to be $0$. The complexity problem of realizations of Boolean functions over a basis having negation as the only nonmonotone element was completely solved by A. A. Markov. In 1957 he showed that the minimum number of NOT gates sufficient for realization of any Boolean function $f$ (the inversion complexity of the function $f$) is $\lceil\log_2(d(f)+1)\rceil$. Here $d(f)$ is the maximum number of the changes of the function $f$ from larger to smaller values over all increasing chains of tuples of variables values. In the present paper Markov's result is extended to the case of realization of $k$-valued logic functions. We show that the minimum number of Post negations (that is, functions of the form $x+1\pmod{k}$) that is sufficient to realize an arbitrary function of $k$-valued logic is $\lceil\log_2(d(f)+1)\rceil$ and the minimum number of Łukasiewicz negation (that is, functio