Об одном обобщении теоремы Орэ для многочленов

Пусть $GF(q)$ - поле из $q$ элементов, а ${V_n}(q)$ - множество всех $n$-мерных векторов над полем $GF(q)$. Линеаризованным многочленом, соответствующим многочлену $f(x) = {x^n} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{c_i}{x^i}} \;$над полем $GF(q)$, называется многочлен $F(x) = {x^{{q^n}}} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{c_i}{x^{{q^i}}}$. Рассматривается преобразование ${T_f}$ пространства векторов ${V_n}(q)$, действующее по правилу ${T_f}( {({u_0},...,{u_{n - 2}},{u_{n - 1}})} ) = ({u_1},...,{u_{n - 1}},\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{c_i}{u_i}} )$. Доказывается, что если ${c_0} \ne 0$, то граф преобразования ${T_f}$ изоморфен графу преобразования $Q:\alpha \to {\alpha ^q}$ на множестве всех корней многочлена $F(x)$ в поле его разложения. При этом граф преобразования ${T_f}$ состоит из циклов длин $1 \le {d_1} \le {d_2} \le ... \le {d_r}$ тогда и только тогда, когда многочлен $F(x)$ является произведением $r + 1$ неприводимых многочленов, которые имеют степени $1,{d_1},{d_2},...,{d_r}$. Let $GF(q)$ be the field of $q$ elements and ${V_n}(q)$ denote the $n$-dimensional vector space over the field $GF(q)$. The linearized polynomial that corresponds to the polynomial $f(x) = {x^n} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{c_i}{x^i}} \;$over the field $GF(q)$ is the polynomial $F(x) = {x^{{q^n}}} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{c_i}{x^{{q^i}}}$. Let ${T_f}$ denote the transformation of the vector space ${V_n}(q)$ determined by the rule ${T_f}( {({u_0},...,{u_{n - 2}},{u_{n - 1}})} ) = ({u_1},...,{u_{n - 1}},\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{c_i}{u_i}} )$. It is shown that if ${c_0} \ne 0$, then the graph of the transformation ${T_f}$ is isomorphic to the graph of the transformation $Q:\alpha \to {\alpha ^q}$ on the set of all roots of the polynomial $F(x)$ in its splitting field. In this case the graph of the transformation ${T_f}$ consists of cycles of lengths $1 \le {d_1} \le {d_2} \le ... \le {d_r}$ if and only if the polynomial $F(x)$ is the product of $r + 1$ irreducible factors of degrees $1,{d_1},{d_2},...,{d_r}$.