Quota fulfillment times

An example of the classical occupancy problem is to sample with replacement from an urn containing several colours of balls and count the number of balls sampled until a given number of "quotas" are filled. This and the corresponding random variable for sampling without replacement will be referred to as quota fulfillment times. Asymptotic and exact methods for computing moments and distributions are given in this paper. Moments of quota fulfillment times are related to moments of order statistics of beta and gamma random variables. Most of the results for sampling without replacement and some of the results for sampling with replacement are believed to be new. Some other known sampling-with-replacement results are given for comparative purposes. /// Supposons qu'une urne contienne des boules de différentes couleurs et qu'on tire ces boules avec ou sans remise jusqu'à ce que certains quotas aient été atteints. Les variables aléatoires représentant le nombre total de boules tirées avec ou sans remise sont appelées des "temps d'obtention des quotas". Dans le présent article, on développe des méthodes exactes et asymptotiques pour le calcul des distributions et des moments de ces variables aléatoires. On montre que les moments des temps d'obtention des quotas sont reliés à ceux des statistiques d'ordre de variables aléatoires des types bêta et gamma. La plupart des résultats obtenus dans le cas de tirage sans remise sont apparemment nouveaux, de même que certains des résultats correspondant au cas de tirage avec remise. Certains résultats connus concernant ce dernier cas sont également présentés pour fins de comparaison.