Some results on commutation matrices, with statistical applications

The commutation matrix Pmnchanges the order of multiplication of a Kronecker matrix product. The vec operator stacks columns of a matrix one under another in a single column. It is possible to express the vec of a Kronecker matrix product in terms of a Kronecker product of vecs of matrices. The commutation matrix plays an important role here. "Supervec-operators" like vec A ⊗ vec A, vec(A ⊗ A), and vec{( A⊗ A) Pnn} are very convenient. Several of their properties are being studied. Both the traditional commutation matrix and vec operator and the newer concepts developed from these are applied to multivariate statistical and related problems. /// On dit qu'une matrice Pmnest commutatrice si elle change l'ordre de multiplication du produit tensoriel de deux matrices. D'autre part, on appelle "vec" l'opérateur qui range les colonnes d'une matrice les unes sous les autres. I1 est bien connu que le "vec" d'un produit tensoriel de matrices peut s'exprimer à l'aide d'un produit tensoriel de "vecs" de matrices. La matrice commutatrice joue un rôle important dans ce procédé. Dans cet article, on étudie les propriétés des opérateurs "vec" composés, tels que vecA ⊗ vecA, vec(A ⊗ A) et vec{( A⊗ A) Pnn}. On montre l'utilité que ces opérateurs peuvent avoir en statistique multidimensionnelle en les appliquant à quelques problèmes.