Задача с динамическим краевым условием для одномерного гиперболического уравнения

Рассмотрена задача с динамическим краевым условием, учитывающим наличие демпфера при закреплении, для гиперболического уравнения на плоскости и доказана ее однозначная разрешимость. Динамическое условие, содержащее производные первого порядка как по пространственной, так и по переменной времени, приводит к несамосопряженной задаче, что затрудняет применение методов спектрального анализа. Однако эти трудности преодолены и существование единственного решения поставленной задачи доказано. Основным инструментом доказательства являются априорные оценки в пространствах Соболева, выведенные в процессе работы над статьей. Предложены способы получения приближенного решения, в качестве частного случая рассмотрен пример одномерного волнового уравнения и получено точное решение задачи с динамическим условием. In this paper, we consider a problem with dynamical boundary conditions for a hyperbolic equation. The dynamical boundary condition is a convenient method to take into account the presence of certain damper when fixing the end of a string or a beam. Problems with dynamical boundary conditions containing first-order derivatives with respect to both space and time variables are not self-ajoint, that complicates solution by spectral analysis. However, these difficulties can be overcome by a method proposed in the paper. The main tool to prove the existence of the unique weak solution to the problem is the priori estimates in Sobolev spaces. As a particular example of the wave equation is considered. The exact solution of a problem with dynamical condition is obtained.