Строчно-ориентированная форма регуляризованного метода Качмажа

Предложен новый итерационный метод решения стандартной задачи регуляризации А. Н. Тихонова. Данный метод основан на применении проекционного алгоритма Качмажа к расширенной регуляризованной нормальной системе уравнений. Использование расширенной регуляризованной нормальной системы уравнений, в отличие от системы регуляризованных нормальных уравнений, позволяет значительно снизить спектральное число обусловленности исходной задачи. Получена строчно-ориентированная форма регуляризованного алгоритма Качмажа. Такая форма регуляризованного алгоритма Качмажа позволяет решать задачи, в которых данные поступают последовательно (построчно), и эффективно вычислять решения задач с разреженными матрицами больших и сверхбольших размерностей. Приведены результаты сравнения предложенной строчно-ориентированной формы алгоритма со столбцово-ориентированной формой этого алгоритма. Показано, что для определенных классов задач предложенная форма регуляризованного алгоритма позволяет уменьшить число итераций по сравнению со столбцово-ориентированной формой алгоритма. This paper presents the new iterative method for solving the standard Tikhonov regularization problem. The basis of the method is the application the projection Kaczmarz algorithm to the augmented regularized normal system of equations. The use of the augmented regularized normal system of equations, instead the system of regularized normal equations, makes it possible to significantly reduce the spectral condition number of the original problem. The paper presents the row-oriented form of the regularized Kaczmarz algorithm. This form of the regularized Kaczmarz algorithm allows to solve problems in which the data are received sequentially (line by line). The proposed algorithm makes it possible to effectively calculate solutions of problems with sparse matrices of large and superlarge dimensions. The comparison's results of the proposed row-oriented form of the algorithm with the column-oriented form of this algorithm are presented. By considering a certain classes of problems, the paper demonstrates that the proposed form of the regularized algorithm allows to reduce the number of iterations in comparison with the column-oriented form of the algorithm.