Задача Валле Пуссена в ядре оператора свертки на полуплоскости

Рассматривается многоточечная задача Валле Пуссена (интерполяционная задача) на полуплоскости $D$, $D=z : \mathop{\mathrm{Re}} z0\}$. Пусть $\psi(z)\in H(D)$; $\mu_1$, $\mu_2$, $\ldots \in D$ - положительные нулевые точки этой функции и их предел лежит на границе $D$. Предположим, что $\mu_k$ имеют кратность $s_k$, $k=1, 2, …$. Пусть $M_{\varphi}$ - оператор свертки с характеристической функцией $\varphi(z).$ Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел $a_{kj},$ $j=0, 1, $ $\ldots, s_k-1$. Существует ли функция $u(z) \in \mathop{\mathrm{Ker}}M_\varphi$ такая, что $u^{(j)}(\mu_{k})=a_{kj},$ $j=0, 1,…,s_k-1$? Предполагается, что характеристическая функция оператора имеет вполне регулярный рост. Получены условия разрешимости многоточечной задачи Валле Пуссена на полуплоскости. Также получены условия разрешимости поставленной задачи и на ограниченных выпуклых областях. We consider the multipoint de la Vallee Poussin (interpolational) problem in the half-plane $D$, $D=z : \mathop{\mathrm{Re}} z0\}$. Let $\psi(z)\in H(D)$; $\mu_1$, $\mu_2$, $\ldots \in D$ be the positive zero points of this function and let the boundary of domain $D$ contain their limit. Also, we assume that $\mu_k$ is of $s_k$ multiplicity, $k=1, 2, …$. Let us set $M_{\varphi}$ an operator of convolution with the characteristic function $\varphi(z)$. Taking an arbitrary sequence $a_{kj},$ $j=0, 1, \ldots, s_k-1$ we should ask: is there a function $u(z) \in \mathop{\mathrm{Ker}}M_\varphi$ that provides the relation $u^{(j)}(\mu_{k})=a_{kj},$ $j=0, 1,…,s_k-1$? We assume the operator characteristic function to be of completely regular growth. The solvability conditions for the multipoint de la Vallée Poussin problem in the half-plain and in the bounded convex domains are obtained.