A Preconditioning of the Tau Operator for Ordinary Differential Equations

Für den Operator, der bei der Chebyshevschen Tau‐Methode för lineare gewöhnliche Differentialgleichungen auftritt, wird mittels eines Integral‐Operators eine Faktorisierung angegeben. Der erste Faktor dieser Faktorisierung hat eine beschränkte Konditions‐Zahl und ist schwach besetzt, falls die Koeffizienten in der Differentialgleichung Polynome niedriger Ordnung sind. Der zweite Faktor der Faktorisierung kann leicht direkt invertiert werden. Somit wird die iterative wie auch in vielen Fällen die direkte Lösung der Tau‐Gleichung für Differentialgleichungs‐Systeme vereinfacht. Darüber hinaus kann unter Verwendung dieser Faktorisierung ein Existenz‐ und Konvergenzbeweis für die Tau‐Approximation gegeben werden. Ein ähnlicher Präkonditionierer kann für Kollokationsgleichungen definiert werden. Numerische Beispiele, bei denen iterative Löser angewendet werden, zeigen verbesserte Konvergenz sowohl für die Tau‐Methode als auch für die Kollokationsmethode. A factorization of the operator arising in the Chebyshev Tau method for linear ordinary differential equations is given using integral operators. The first factor of this factorization has a bounded condition number and is sparse if the coefficients in the differential equation are low order polynomials. The second factor of the factorization is easy to invert directly. Thus the iterative as well as in many cases the direct solution of the Tau equation for differential systems is simplified. In addition, using this factorization a proof of existence and convergence of the Tau approximant can be given. A similar preconditioner is defined for collocation equations. Numerical examples applying iterative solvers show improved convergence for both Tau method and collocation.