Behandlung eines Goursatproblems mit einer verallgemeinerten Riemannschen Methode

In dieser Arbeit wird ein lineares Goursat problem in zwei Zeit‐ und einer Raumvariablen behandelt. Die Koeffizienten der betrachteten Differentialgleichung müssen hierbei nach allen Variablen beliebig oft differenzierbar sein und nebst all ihren partiellen Ableitungen bestimmten Wachstumsbeschränkungen genügen. Für die Inhomogenität und die Vorgaben werden gesonderte Voraussetzungen gestellt. Zuerst wird für ein hinsichtlich der Anfangsbedingungen verallgemeinertes Goursatproblem die eindeutige Lösbarkeit in der gleichen Funktionenklasse bewiesen, in der die Koeffizienten der Differentialgleichung liegen. Auf Grund dieses Ergebnisses gelingt es dann, mit Hilfe einer verallgemeinerten Riemannschen Integrationsmethode allgemeinere Existenz‐ und Eindeutigkeitsaussagen für das anfangs erwähnte Goursatproblem zu gewinnen. Die Hauptschwierigkeit besteht hierbei in der Bestimmung einer verallgemeinerten Riemannschen Funktion. In this paper a linear Goursat problem in two time variables and one space variable is treated. The coefficients of the considered differential equation must be differentiable of any order with respect to all variables. In addition the coefficients together with all their derivatives have to fulfill certain conditions of growth. Special assumptions are made for the inhomogeneous part and the initial functions of our problem. At first we prove that the Goursat problem, generalized with respect to the initial conditions, has a unique solution in the same class of functions to which the coefficients of the differential equation belong. Using this result and a generalized Riemann method we succeed in establishing more general existence and uniqueness theorems for the first mentioned Goursat problem. The main difficulty is to determine a generalized Riemann function for the differential equation under consideration.