Traveling Waves for a Fractional Korteweg–De Vries and a Fractional Degasperis–Procesi Equation with an Inhomogeneous Symbol

Vi studerer to familier av ligninger: En fraksjonell Korteweg--De Vries-ligning (fKdV) gitt ved u_t + uu_x + (\Lambda^{-s} u)_x = 0 og en fraksjonell Degasperis--Procesi-ligning (fDP) gitt ved u_t + uu_x + 3/2 (\Lambda^{-s} u^2)_x = 0. Operatoren \Lambda^{-s} er en Fourier-multiplikator med symbol (1+\xi^2)^{-s/2} og s \in (0, 1). For fKdV-ligningen beviser vi at det eksisterer lokale forgreninger av løsninger rundt den trivielle løsningen, bestående av glatte og periodiske reisende bølger, og at de lokale forgreningene eksisterer som globale løsningskurver. I grensen av en slik kurve finner vi en spiss reisende bølge med maksimal høyde og beviser dens optimale $s$-Hölder-regularitet, oppnådd i spissen. For fDP-ligningen viser vi at lokale løsningsforgreninger av glatte og periodiske reisende bølger eksisterer rundt en konstant løsning til ligningen, og at global forgrening forekommer for tilstrekkelig små perioder. Videre diskuterer vi betingelser for eksistensen av en spiss reisende bølge med maksimal høyde som løser fDP-ligningen, og dens forventede regularitet. Numeriske eksempler er gitt.