再论由一组相切的圆的半径而引出的一组数列

笔者曾在《黔东南民族师专学报》（自然版）1996年第1 ,2期合刊上论证了由·O,（?）P1,（?）P2围成的区域中,从（?）P1起顺次相切的圆的半径构成一组数列.为下面讨论方便。设（?）O的半径为1,则（?）P1,（?）P2的半径均为1/2,那么上面那组数列是:1/2,1/3,1/6,1/（11）,…,通项是:1/（n2+2）=0,1,2,…).现在问题是在这组两丙相切的圆中,还有没有其他一些圆的半径也构成数列?回答是肯定的.如图:由（?）O,（?）O1,（?）P2围成的区域中,从（?）P2起顺次相切的圆的半径也构成一组数列:1/2,1/6,1/（14）,1/（26）,…,其通项为1/（2n2+2n+2）（n=0,1,2,…）读者可以仿文[1]的方法给出证明.现在证明由（?）O,（?）O1,（?）P所围成的区域中,（?）O1起顺次相切的圆的半径所组成的数列.设这组圆的圆心分别为O1,O2,O3,…,On,（?）O1OP=α1,（?）O2OP=α2,（?）O3OP=α3,…,（?）OnOP=αn,先计算（?）O2的半径,设（?）O2的半径为x,由余弦定理,得