A new numerical approach for the fluid-structure interaction of slender bodies immersed in three-dimensional flows

Ce projet de doctorat a pour objectif de développer une nouvelle approche computationnelle pour la simulation de corps élancés immergés dans un écoulement tridimensionnel (3D). Grâce à la configuration géométrique particulière des structures élancées, nous pouvons modéliser ce problème par des équations couplées en dimensions mixtes pour lesquelles les équations d'équilibre du solide sont formulées dans un domaine unidimensionnel (1D). Les principaux avantages de l'approche que nous présentons dans ce manuscrit résident dans sa solide base mathématique. En effet, tandis que de nombreuses formulations mixtes donnent des solutions avec une faible régularité en raison d'opérateurs de trace mal posés, notre méthode réduite génère des solutions dans des espaces de Hilbert classiques. Dans le deuxième chapitre, nous établissons la formulation continue du problème couplé 3D d'interaction fluide-structure en considérant les équations de Navier-Stokes incompressibles pour la description de la dynamique du fluide et un modèle de poutre linéaire de Timoshenko pour la modélisation de la réponse de la structure élancée. Ces modèles sont couplés avec une version en dimensions mixtes des conditions d'interface fluide-structure, associant l'approche de domaine fictif (DF) avec la projection des conditions de couplage cinématique sur un espace de Fourier de dimension finie via des multiplicateurs de Lagrange. Nous développons ensuite une formulation discrète basée sur la méthode des éléments finis et un traitement semi-implicite des conditions de couplage Dirichlet-Neumann. Nous établissons la stabilité énergétique du schéma et fournissons des preuves numériques détaillées sur la précision et la robustesse de la formulation discrète. Dans les troisième et quatrième chapitres, nous effectuons une analyse mathématique sur l'erreur d'approximation de notre méthode réduite couplée, en examinant les erreurs de modélisation et d'approximation numériques résultant respectivement de la formulation en dimensions mixtes et de la méthode des éléments finis avec domaine fictif. Nous explorons ces aspects dans deux cadres simplifiés. Nous considérons d'abord un problème de Poisson 2D avec une frontière immergée statique et des conditions aux bords de Dirichlet non homogènes. Nous étendons ensuite cette analyse au problème de Stokes 2D stationnaire avec des conditions aux bords de type solides rigides sur l'interface immergée. Dans les deux cas, après avoir prouvé l'existence de solutio