Geometric techniques for the study of maximal operators

Cette thèse est dédiée à l'étude des opérateurs géométriques maximaux. Si les propriétés de l'opérateur maximal de Hardy-Littlewood sont bien connues, la situation est bien plus complexe lorsque l'opérateur maximal est défini sur une famille de rectangles ayant moins de symétrie ou de régularité. Nous développons et utilisons des techniques géométriques pour obtenir des propriétés de bornitudes optimales pour différents types d'opérateurs maximaux. En particulier, nous utilisons des variantes de construction d'arbre de Perron, la technologie de Bateman-Katz et la technique de cristallisation de Stokolos. This thesis is dedicated to the study of geometric maximal operators. It is well known that the Hardy-Littlewood maximal operator (defined on cubes) is bounded on L^p for any p>1, the situation is more complex for a maximal operator defined on a family of rectangles with prescribed angles, eccentricities or volumes. We develop and use geometric techniques in order to obtain sharp boundedness properties for different kinds of maximal operators. In particular, we use variants of the so-called Perron's trees, Bateman-Katz's technology and crystallisation technique à la Stokolos.