La méthode des répliques et l'équivalence asymptotique

La méthode des répliques est un outil préféré des physiciens pour étudier les grandes systèmes désordonnés. Bien que la méthode soit très peu rigoureuse, elle peut résoudre des problèmes difficiles dans les domaines différents: théorie des matrices aléatoires, optimisation convexe, optimisation combinatoire, inférence bayésienne, etc. La méthode a été utilisée avec succès pour analyser des modèles théoriques dans communication sans fil et apprentissage automatique.Les alternatives rigoureuses à la méthode des répliques incluent la méthode des équivalents déterministes de la théorie des matrices aléatoires, la méthode objective de l'optimisation combinatoire et le CGMT (``convex Gaussian min-max theorem'' en anglais) dans l'optimisation convexe. Bien que ces méthodes fonctionnent dans des domaines différents, elles offrent un point commun : l’équivalence asymptotique, qui nous indique que le grand système étudié est équivalent à un système plus simple. En conséquence, de nombreux calculs difficiles sur le système d’origine peuvent être effectués plus facilement sur le système équivalent.En revanche, avec la méthode de réplique, les aperçus viennent après les calculs. On commence par écrire ce qu'on veut calculer, puis on continue les calculs jusqu'à la fin pour obtenir le résultat. Après avoir calculé diverses quantités liées au système, avec quelques observations et une bonne intuition, on peut découvrir le système équivalent. Dans cette thèse, nous montrons que l'équivalent asymptotique d'un système désordonné peut être obtenu directement avec le formalisme des répliques en prêtant attention aux calculs à grande déviation qui se cachent derrière les calculs des répliques. En d’autres termes, nous développons une version de la méthode des répliques capable de calculer directement l’équivalent asymptotique d’un système désordonné. Cette version de la méthode des répliques, qui s'inscrit dans le même cadre d'équivalence déterministe que les méthodes rigoureuses ci-dessus, peut calculer les équivalents déterministes des matrices aléatoires, dériver formellement le CGMT et résoudre des problèmes de statistiques bayésiennes de grande dimension. De plus, il peut dériver des résultats sur le modèle de Sherrington-Kirkpatrick de manière claire et simple.Dans cette version de la méthode des répliques, chaque système désordonné est associé à un objet appelé ``la densité des répliques''. Grâce au théorème de De Finetti, un système désordonné peut être récupéré à part