Geometric properties of the critical points of a Gaussian field

Cette thèse a pour sujet l'étude des propriétés géométriques des points critiques d'un champ gaussien régulier limité à un domaine borné du plan et de la sphère. Nous nous intéressons à deux sujets classiques. Le premier sujet traite les propriétés de répulsion locale du processus stationnaire formé par les points critiques d'un champ gaussien isotrope stationnaire régulier dans une petite boule dans le plan. A l'aide de la formule de Kac-Rice, nous calculons le facteur de répulsion local qui est la limite du rapport entre le moment factoriel d'ordre deux et le carré de l'espérance, quand le rayon de la boule tend vers 0. Et nous montrons que selon la fonction de covariance du champ gaussien, le processus des points critiques forme un processus ponctuel faiblement localement répulsif ou faiblement localement attractif. En particulier, nous montrons que dans le cas où le champ gaussien est le "Berry's Planar Random Wave", les points critiques présentent une faible répulsion locale et de plus la valeur minimale du facteur de répulsion est atteinte dans ce cas. Nous montrons également que le sous-processus formé par les points extrémaux est fortement répulsif ainsi que le sous-processus formé par les points-selles. Le deuxième sujet étudie le comportement asymptotique dans la limite de haut degré du nombre de points critiques d'un champ gaussien sphérique, appelé harmonique sphérique aléatoire, dans une calotte sphérique dont le rayon tend vers 0. On présume que le nombre de points critiques est dominé par un seul terme dans la décomposition en chaos de Wiener qui est la projection chaotique d'ordre quatre. On conjecture que le nombre de points critiques vérifie un Théorème Central Limite. This thesis deals with the study of the geometric properties of the critical points of a regular Gaussian field limited to a bounded domain on the plane and on the sphere. We are interested in two classic topics. The first subject deals with the local repulsion properties of the stationary process formed by the critical points of a regular stationary isotropic Gaussian field in a small ball on the plane. Using the Kac-Rice formula, we compute the local repulsion factor which is the limit of the ratio between the factorial moment of second order and the square of the expectation when the radius of the ball tends to 0. We also show that, depending on the covariance function of the field, the process of critical points forms a weakly locally repulsive or a weakly locally attra