On the endomorphism algebra of Gelfand–Graev representations and the unipotent ℓ-block of p-adic GL2 with ℓ ≠ p

Inspiré par la conjecture de Langlands locale en familles de Dat, Helm, Kurinczuk et Moss, pour un groupe r éductif connexe G défini sur Fq, nous étudions les relations des trois anneaux suivants : (i) le Z-modèle EG des algèbres d’endomorphismes des représentations de Gelfand–Graev de G(Fq) ; (ii) l’anneau de Grothendieck KG∗ de la catégorie des représentations de G∗(Fq) de dimension finie sur Fq, avec G∗ le dual de Deligne–Lusztig de G ; (iii) l’anneau des fonctions BG∨ du Z-schéma (T ∨ W )F ∨, avec G∨ le dual de Langlands (défini et déployé sur Z) de G. Nous démontrons que Z[1/pM ]EG ≃ Z[1/pM ]KG∗ comme Z[ 1/pM ]-algèbres avec p = char(Fq) et M le produit des nombres premiers mauvais pour G, et que KG∗ ≃ BG∨ comme anneaux lorsque le groupe dérivé de G∨ est simplement connexe. Profitant de ces résultats, nous donnons ensuite une description explicite du ℓ-bloc unipotent de GL2 p-adique avec ℓ ̸ = p et ordℓ(q) = 2. Les matériaux de ce travail, sauf § 4, proviennent principalement de mon article [Li2] et de mon autre article [LiSh] en collaboration avec J. Shotton. Inspired by the conjecture of local Langlands in families of Dat, Helm, Kurinczuk and Moss, for a connected reductive group G defined over Fq, we study the relations of the following three rings: (i) the Z-model EG of endomorphism algebras of Gelfand–Graev representations of G(Fq); (ii) the Grothendieck ring KG∗ of the category of representations of G∗(Fq) of finite dimension over Fq, with G∗ the Deligne–Lusztig dual of G; (iii) the ring of functions BG∨of the Z-scheme (T ∨ W )F ∨, with G∨ the Langlands dual (defined and split over Z) of G. We show that Z[1/pM ]EG ≃ Z[1/pM ]KG∗ as Z[1/pM ]-algebras with p = char(Fq) and M the product of bad primes for G, and that KG∗ ≃ BG∨ as rings when the derived subgroup of G∨ is simply-connected. Benefiting from these results, we then give an explicit description of the unipotent ℓ-block of p-adic GL2 with ℓ ̸ = p and ordℓ(q) = 2. The material of this work, except for § 4, mainly originates from my article [Li2] and from my other article [LiSh] in collaboration with J. Shotton.