Enseignement et apprentissage des approximations locales des fonctions au début du cursus dans le Supérieur - Cas des classes préparatoires aux études d'ingénieurs

Au début du cycle des classes préparatoires aux études d'ingénieurs, les concepts de la relation de comparaison des fonctions, la formule de Taylor-Young et développements limités ont pour caractéristique fondamentale celle de résoudre des problèmes d'approximations locales des fonctions et de modélisations physique, mécanique, optique, etc. Une revue de lecture des travaux liés au domaine de didactique de l'Analyse nous a conduit à émettre l'hypothèse que l'identification et la caractérisation des obstacles liés à l'appropriation et à l'usage raisonné des notions d'approximation locale d'une fonction, contribuent significativement à étudier la nature et l'origine des difficultés rencontrées par les étudiants concernant la conceptualisation de ces objets en première année de section Physique-Chimie (PC). Ces obstacles résultent a priori en grande partie de l'absence des situations mathématiques dévolues aux étudiants nécessitant l'utilisation des représentations graphiques. Afin de surmonter ces obstacles de natures épistémologique, didactique et culturelle et de permettre aux étudiants de donner du sens au concept d'approximation locale d'une fonction, nous avons élaboré et mis en œuvre, en collaboration avec l'enseignante de la classe de première année (PC), une ingénierie didactique de développement par l'intégration de deux situations à dimension adidactique dans l'enseignement du chapitre « Analyse asymptotique ». Cette ingénierie, construite dans le cadre de la théorie des situations didactiques, vise à introduire ce concept par l'articulation des dimensions sémantique et syntaxique et la mobilisation de ses différentes représentations en utilisant un logiciel dynamique de géométrie Geogebra pour des constructions graphiques. L'analyse didactique des raisonnements, qui sous-tendent les procédures de résolution des étudiants, nous renseigne très précisément sur les connaissances et les savoirs mobilisés par confrontation aux différentes situations, sur la nature et le type de raisonnements ainsi que sur les dimensions sémantique et/ou syntaxique inhérentes à ses différentes étapes. Dans notre travail, l'expérimentation combinant la visualisation des représentations graphiques « dynamiques » et les raisonnements mathématiques, produits par les étudiants par la mobilisation de leurs connaissances antérieures sur l'étude d'une fonction, ont contribué à une approche analytique permettant l'introduction de la définition formelle du développement limité ave