Multistage stochastic optimization and polyhedral geometry

Dans cette thèse, nous utilisons les outils de la géométrie polyédrale pour appréhender la struc-ture de problèmes stochastiques. Plus précisément, lorsque les variables aléatoires de problèmesstochastiques linéaires multiétapes (MSLP) peuvent être remplacées par des variables aléatoiresà support fini sans changer les fonctions valeurs, on parle de discrétisation exacte. On qualifieune discrétisation exacte de locale si elle s’applique à un point particulier de l’espace d’état,d’uniforme si elle ne dépend pas de l’état et d’universelle si elle est indépendente de la distribu-tion.Notre but est de donner des conditions pour obtenir des discrétisations exactes universelles,locale ou uniforme.Grâce à la notion d’éventail normal, nous établissons une discrétisation exacte locale etuniverselle pour les problèmes stochastiques linéaires à 2 étapes (2SLP), qui permet ensuited’obtenir une discrétisation exacte, uniforme et universelle, à l’aide de l’équivalence normaledes fibres du polyèdre couplant sur les cellules d’un certain complexe polyédral appelé chambercomplex. En construisant par programmation dynamique, des complexes polyédraux universels,où la fonction des coûts futurs espérés est affine par morceaux, nous prouvons une discrétisationexacte uniforme et universelle pour les MSLP avec distribution de coût générale. De plus, nousdonnons une interprétation duale à l’aide d’une généralisation du polyèdre de fibres pondéréadapté au 2SLP que l’on étend aux MSLP au moyen de polyèdres de fibres imbriqués. Cesdiscrétisations nous permettent alors de déduire des résultats de complexité pour les MSLP enmontrant qu’ils deviennent résolubles en temps polynomial pour toute distribution régulière,lorsque certains paramètres sont fixés.Nous nous intéressons ensuite aux 2SLP dont la matrice et le second membre des contraintesont des distributions générales. Grâce à une discrétisation exacte et locale, nous étendons laportée des méthodes de partitions adaptatives (APM) en donnant un oracle géométrique pourobtenir une partition adaptée, c’est à dire fournissant une discrétisation exacte locale. Nousdonnons également une condition nécessaire et suffisante pour la correction des algorithmesAPM, ainsi que des bornes de complexité.Enfin, nous introduisons une classe d’algorithmes, appelée Programmation Dynamique parSuivi de Trajectoire, Trajectory Following Dynamic Programming en anglais, qui affine succes-sivement des approximations des fonctions des coûts futurs espérés d’un