Model order reduction techniques for stochastic problems

Dans cette thèse, deux sujets différents ont été abordés. D'abord, on a développé une analyse théorique d'une méthode numérique qui consiste à construire une variable de contrôle en utilisant les bases réduites. Cette base réduite est construite en utilisant l'algorithme Glouton où la norme utilisée est approximée à l'aide d'un estimateur de Monte Carlo (Monte Carlo Greedy algorithm). On prouve en utilisant les inégalités de concentration et sous des conditions sur le nombre d'échantillonnage [dollar]M_n[dollar] à chaque itération [dollar]nin mathbb{N}^*[dollar], qu'avec une grande probabilité, le Monte Carlo Greedy algorithm est un algorithme faiblement Greedy. Cependant, le résultat théorique obtenu ne peut pas être utilisé en pratique du fait que la borne inférieure sur le nombre d'échantillonnage explose très vite ce qui implique un nombre prohibitif d'échantillonnage à considérer. Pour contourner ce problème, on a développé un algorithme heuristique en affaiblissant la borne inférieure sur le nombre d'échantillonnage et en la remplaçant par une condition inspirée du résultat théorique. On applique cet algorithme sur trois tests. Les résultats numériques obtenus montrent une bonne correspondance, dans la partie hors ligne, entre des indicateurs approximatifs et d'autres exacts, comme la distance entre la base réduite et le manifold. Dans la phase en ligne, on observe que pour une erreur statistique fixée, on a besoin d'un nombre d'échantillonnage [dollar]M=10^6[dollar] pour l'estimateur de Monte Carlo standard, tandis que pour l'estimateur construit avec la variable de contrôle on a besoin uniquement d'un nombre d'échantillonnage [dollar]M=349[dollar] (ces résultats on été obtenus sur le premier test). Une perspective de ce travail serait d'étendre ces résultats d'analyse numérique pour des algorithmes utilisant des chaines de Markov (Markov Chain Monte Carlo).Ensuite, dans un deuxième travail, on a développé différents schémas pour approximer efficacement la solution d'une équation différentielle stochastique paramétrée dans les cas de bruits additifs et multiplicatifs. Les différents schémas sont inspirés de la méthode splitting développée pour les équations différentielles ordinaires paramétrées. On vérifie que ces schémas sont fortement consistants en ordre 1 avec le schéma Euler Maruyama. On utilise ces schémas pour construire une variable de contrôle pour approximer efficacement l'espérance du processus paramétré à chaque instant. Le résultat num