Noncommutative geometry and gauge theories on AF algebras

La géométrie non-commutative (GNC) est une discipline mathématique développée dans les années 90 par Alain Connes. Elle se présente comme la nouvelle généralisation de la géométrie usuelle, englobant et dépassant le cadre Riemannien. À l'instar de la géométrie Riemannienne, la GNC possède elle aussi des liens avec la physique. En effet, la GNC a fourni un cadre puissant pour reformuler le Modèle Standard de la Physique des Particules (SMPP) en tenant compte de la relativité générale en une seule représentation "géométrique", basée sur les Théories de Jauge Non-Commutatives (NCGFT). De plus, cette réalisation offre un cadre propice à l'étude des diverses possibilités pour aller au-delà du SMPP, comme les Théories Grands Unifiées (GUT). Cette thèse cherche à montrer une méthode élégante, récemment développée par Thierry Masson et moi-même proposant un schéma général pour élaborer des GUTs dans le cadre des NCGFT. Ceci concerne l'étude de NCGFTs basées sur les C*-algebres Approximativement Finies (AF-algèbres), en utilisant soit les dérivations de l'algèbre, soit des triplets spectraux afin de mettre en place la structure différentielle. La séquence inductive définissant l'algèbre AF est utilisée pour permettre la construction d'une séquence de NCGFTs de types Yang-Mills Higgs, le rang n+1 pouvant ainsi représenter la théorie grande unifiée de celle du rang n. Le principal avantage de ce cadre est de contrôler, à l'aide de conditions adéquates, l'interaction des degrés de liberté le long de la séquence inductive sur l'algèbre AF, et de suggérer un moyen d'obtenir des modèles de type GUT, tout en offrant de nombreuses voies d'exploration théorique pour aller au-delà du SMPP. Non-commutative geometry (NCG) is a mathematical discipline developed in the 1990s by Alain Connes. It is presented as a new generalization of usual geometry, both encompassing and going beyond the Riemannian framework. Like Riemannian geometry, NCG also has links with physics. Indeed, NCG provided a powerful framework for the reformulation of the Standard Model of Particle Physics (SMPP), taking into account General Relativity in a single "geometric" representation, based on Non-Commutative Gauge Theories (NCGFT). Moreover, this accomplishment provides a convenient framework to study various possibilities to go beyond the SMPP, such as Grand Unified Theories (GUTs). This thesis intends to show an elegant method recently developed by Thierry Masson and myself, which proposes a general sche