Le comportement critique de la quasiespèce

Nous nous intéressons à l'évolution une population d'individus. Lorsqu'un individu se reproduit, le matériel génétique de son enfant n'est pas une copie parfaite de celui de son parent, certains gènes sont changés aléatoirement. Ces erreurs sont le premier ingrédient de l'évolution : ce sont les mutations. Le second ingrédient est la sélection : le nombre moyen d'enfants qu'engendre un individu dépend de son matériel génétique. Il s'ensuit une interaction entre les mutations qui tendent à découvrir des comportements nouveaux, et la sélection qui favorise les individus qui se reproduisent davantage. Nous étudions le modèle d’Eigen, un modèle mathématique qui rend compte de ce phénomène. Ce modèle fait apparaître une transition de phase, c’est-à-dire qu’il existe une valeur critique des paramètres qui sépare deux régimes distincts. Dans le premier, l'individu le plus adapté envahit la population, dans le second, la population est complètement aléatoire. Nous calculons le développement asymptotique de la proportion de l'individu le plus adapté à l'équilibre. Cela nous permet de prolonger le développement du paramètre critique. Nous nous posons ensuite les mêmes questions dans le modèle de Moran, qui est un modèle avec une population finie d'individus. Nous nous interrogeons sur la bonne définition du paramètre critique dans ce modèle et proposons plusieurs critères pour le caractériser. We are interested in the evolution of a population of individuals. When an individual reproduces, the genetic material of the offspring is not a perfect copy of its parent's, some genes are changed randomly. These errors are the first ingredient of evolution: mutation. The second ingredient is selection: the average number of children an individual produces depends on its genetic material. There is an interaction between mutations that tend to discover new behaviours, and selection that favours individuals that reproduce more. We study the Eigen model, a mathematical model that accounts for this phenomenon. This model shows a phase transition, which is a critical value of the parameters that separates two distinct regimes. In the first regime, the most adapted individual invades the population, in the second regime, the population is completely random. We calculate the asymptotic development of the proportion of the most adapted individual at equilibrium. This allows us to extend the development of the critical parameter. We then ask the same questions in the Moran model, whic