A categorical study of spectral dualities

La construction spectrale subsume plusieurs notions mathématiques d'importance, telles que le spectre d'un anneau commutatif en géométrie algébrique ou la dualité de Stone. Entremêlant des aspects catégoriques, topologiques et logiques, elle repose sur la notion de géométrie, une condition reliant un choix de théorie essentiellement algébrique, d'une extension géométrique axiomatisant une classe d'objets dits locaux, et d'un système de factorisation, encodant des situations de nature géométrique dans une catégorie d'objets algébriques. Le spectre associé à une géométrie est alors une construction permettant de déployer cette géométrie cachée d'une façon universelle. Plusieurs approches plus ou moins complètes ont été proposées en parallèle pour la construction spectrale, utilisant des formalismes très différents, les uns issue de la théorie catégoriques des modèles, d'autres purement catégoriques, d'autres reposant sur le langage des topos. Cette thèse se propose d'unifier ces différents traitements en une approche synthétique combinant les différents aspects de cette construction. Nous discutons par ailleurs en épilogue quelques éléments pour une version 2-catégorique de cette théorie permettant de retrouver les dualités syntaxe-sémantique de la logique du premier ordre comme des constructions spectrales. The spectral construction subsumes several prominent mathematical notions, as the spectrum of a commutative ring in algebraic geometry, or also Stone duality. Interweaving categorical, topological and logical aspects, it relies on the notion of geometry. The latter is a condition relating the data of an essentially algebraic theory, a choice of a geometric extension coding for a class of local objects, and a factorization system, encoding a spatial behaviour inside a category of algebraic objects. Then the purpose of the spectrum is to deploy this hidden geometry in a universal way. Several approaches to the spectral construction have been proposed, with unclear links and sometime uncomplete treatement, using very different formalisms from category theory, categorical model theory or topos theory. The present thesis unifies those treatements into a synthetic approach combining all the different aspects of this construction. We also discuss in an epilogue some elements for a 2-categorical version of this construction in the optics of recovering the syntax-semantics adjunction of first order logics as instances of spectral constructions.