Analysis of time-domain integration methods for the simulation of thermal convection in an annulus

Les simulations numériques de la convection thermique dans le noyau externe de la Terre sont un outil essentiel dans la compréhension de la dynamique à l’origine du champ magnétique terrestre. Des stratégies efficaces de résolution du système d’équations gouvernant cette dernière sont particulièrement intéressantes pour la communauté de recherche sur la Terre profonde qui tente actuellement de faire opérer les simulations numérique de géodynamo à des paramètres terrestres. Il existe de nombreuses pistes d’améliorations des modèles numériques. Dans cette thèse, nous avons axer notre recherche sur les techniques d’intégration en temps afin d’étendre la gamme des paramètres. Nous résolvons un problème de convection thermique dans un anneau en 2 dimensions en appliquant une méthode pseudo spectrale pour la discrétisation spatiale.Concernant la discrétisation temporelle, le système d’équations comprend à la fois la composante raide (diffusive) et la composante non-raide (advective). Une pratique courante est de traiter la partie diffusive de façon implicite et la partie advective de façon explicite afin de limiter la restriction du pas de temps qui se produit lorsque nous utilisons une méthode purement explicite. Ceux-ci sont connus sous le nom d’intégrateurs en temps IMEX. Nous nous concentrons sur ces méthodes IMEX et analysons leur performance lors qu’elles sont appliquées à ce problème. Nous considérons deux familles de méthodes IMEX, les méthodes multistep et les méthodes multistage IMEX Runge-Kutta (IMEX-RK). Nous réalisons une analyse systématique des paramètres d’entrée, à savoir le nombre de Rayleigh (Ra) et le nombre de Prandtl (Pr), qui contrôlent respectivement le forçage thermique et le rapport entre viscosité cinématique et diffusivité thermique. Notre intérêt se porte sur les régimes d’écoulement fortement non-linéaires et nous observons que, lorsque le nombre de Reynolds augmente, peu de méthodes IMEX-RK fonctionnent mieux que les méthodes multistep. Plus précisément, nous comparons les performances des méthodes IMEX-RK avec la méthode de second ordre Crank-Nicholson et Adams-Bashforth (CNAB2),largement utilisées par la communauté de recherche en géodynamo. Nous trouvons que certaines des méthodes d’ordre supérieur fonctionnent mieux que CNAB2 pour de grands nombres de Reynolds. Ce résultat ouvre la possibilité d’utiliserde telles méthodes pour les calculs de dynamo 3D. Cependant, dans la plupart des autres cas, les méthodes multistep d’un ordre