Cohomologie et déformation des champs de vecteurs sur une variété de dimension 1

On considère la structure du Vect(R)-module sur les espaces des opérateurs différentiels bilinéaires agissant sur les espaces de densités. On calcule la première cohomologie différentielle des champs de vecteurs d’algèbre de Lie Vect(R) avec des coefficients dans l’espace des opérateurs différentiels bilinéaires agissant sur les densités pondérées.On considère l’action de Vect(S1) par la dérivée de Lie sur les espaces d’opérateurs pseudodifférentiels DO. On étudie les déformations h-triviales de l’intégration standard de l’algèbre de Lie Vect(S1) de champs de vecteurs lisses sur le cercle, dans l’algèbre de Lie de fonctions sur le fibré cotangent T*S1. On classe les déformations de cette action qui deviennent triviales une fois limitées à h où h = aff(1) ou sl(2). Les conditions nécessaires et suffisantes pour l’intégrabilité des déformations infinitésimales sont données. We consider the Vect(R)-module structure on the spaces of bilinear differential operators acting on the spaces of weighted densities.We compute the first differential cohomology of the vector fields Lie algebra Vect(R) with coefficients in space of bilinear differential operators acting on weighted densities. we consider the action of Vect(S1) by Lie derivative on the spaces of pseudodifferential operators . We study the h-trivial deformations of the standard embedding of the Lie algebra Vect(S1) of smooth vector fields on the circle, into the Lie algebra of functions on the cotangent bundle T∗S1. We classify the deformations of this action that become trivial once restricted to h, where h = aff(1) or sl(2). Necessary and sufficient conditions for integrability of infinitesimal deformations are given.