Shape οptimizatiοn and applicatiοns tο hydraulic structures : mathematical analysis and numerical apprοximatiοn

Nous nous intéressons à l’étude théorique et numérique de plusieurs modèles d’écoulement (Saint-Venant, multicouches, milieux poreux stationnaires et non stationnaires) et de leurs applications à l’optimisation de formes de certains ouvrages hydrauliques. Nous explorons le caractère bien posé des systèmes, nous dérivons un système adjoint lié à chaque modèle.Une méthode de pénalisation est utilisée pour relaxer la contrainte d’incompressibilité de la vitesse.Nous exprimons le gradient de forme en fonction de la vitesse u comme variable d’état, des variables adjointes, et le vecteur unité normal au bord du domaine.Nous adoptons une méthode d’éléments finis discrète pour approcher la solution du problème pénalisé et établissons des estimations à priori afin de prouver la convergence de la solution approchée vers la solution du système non perturbé.Le problème d’optimisation est implémenté en utilisant la méthode adjointe continue et la méthode d’éléments finis. We are interested in the theoretical and numerical study of different flow models (shallow water system, multilayer, stationary and non stationary porous media) and their applications to the shape optimization of some hydraulic structures.We explore the well-posedness of the models and derive the adjoint equations related to each system.A penalty method is used to relax the incompressibility constraint for the velocity. We express the shape gradient of the cost function in terms of the velocity value as a state variable, the adjoint variables and the unit normal vector to the boundary of the domain.We propose a discrete finite element method to approximate the solution for the penalizedproblem and establish a priori estimates to prove the convergence of the approximate solution to the solution of the non perturbed problem. Error estimates for the velocity and the pressure are established.The optimization procedure is implemented using the continuous adjoint method and the finite element method.