Output-sensitive algorithms for enumeration problems in graphs

Cette thèse est une étude, d’un point de vue algorithmique, de la complexité de la résolution de certains problèmes d’énumération dans les graphes. Les algorithmes pour les problèmes d’énumération ont pour but la production de toutes les solutions d’un problème combinatoire, et ce sans répétition. Comme il existe un nombre potentiellement exponentiel de solutions à générer, différentes approches pour analyser la performance de ces algorithmes ont été développées: l’approche "input-sensitive" et l’approche "output-sensitive". La première est une mesure de la complexité basée sur la taille de l’entrée, elle consiste en l’analyse du temps total nécessaire à l’énumération des objets. La seconde est une mesure basée sur la taille de l’entrée et de la sortie. Nous nous intéresserons ici à l’approche output-sensitive et nous accorderons une attention particulière à la notion de délai, i.e., le temps nécessaire entre la production de deux solutions consécutives. La thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans la première, nous proposons un cadre général qui permet d’étudier l’énumération d’ensembles de sommets d’un graphe respectant une certaine propriété. Nous prouvons que lorsqu’une telle propriété peut être définie localement par rapport à un certain ordre sur l’ensemble des sommets du graphe, alors les ensembles de sommets respectant cette propriété peuvent être énumérés avec un délai linéaire. Notre méthode consiste à réduire le problème d’énumération considéré à l’énumération de chemins dans les graphes acycliques dirigés. Nous appliquons cette méthode générale pour énumérer avec un délai linéaire les ensembles dominants connexes minimaux et les ensembles irredondants maximaux dans les graphes d’intervalles et dans les graphes de permutation, ainsi que les ensembles irredondants maximaux dans les graphes arc-circulaires et dans les graphes permutation-circulaires. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l’étude des orientations k-arc-connexes. Il s’agit d’orientations pour lesquelles il est nécessaire de supprimer au moins k arcs pour détruire la forte connexité. Nous présentons d’abord un algorithme simple pour énumérer les orientations k-arc-connexes respectant une séquence de degrés sortants. Ensuite nous présentons un algorithme simple pour énumérer les séquences de degrés sortants pour lesquelles il existe une orientation k-arc-connexe. En combinant ces deux algorithmes, nous obtenons un algorithme qui énumère toutes les orientations k-a