Lois de conservation avec flux non-local pour la modélisation du trafic routier

Le but principal de cette thèse est de fournir des modèles mathématiques de trafic routier avec flux non-locaux, et des schémas numériques adaptés pour analyser numériquement ce type de modèles. D’abord, nous considérons une classe d’équations scalaires, où le sup- port du noyau de convolution est proportionnel à la distance d’anticipation des conducteurs. Nous prouvons la stabilité des solutions par rapport aux données initiales et en déduisons l’existence par un argument d’approximation basé sur un schéma de type Lax-Friedrichs. Nous fournissons également la première preuve de convergence quand le support du noyau tend vers +∞, ainsi que quelques simulations numériques. Ensuite, nous nous concentrons sur une classe spécifique d’équations scalaires, en considérant des noyaux réguliers. Le but est l’étude de problèmes d’optimisation concernant la gestion du trafic et, pour cette raison, nous sommes intéressés par l’étude de la dépendance des solutions en fonction du noyau de convolution et de la vitesse. En appliquant soigneusement la technique de doublement des variables de Kružkov, nous dérivons la dépendance L1 -Lipschitz des solutions par rapport à la donnée initiale, au noyau et á la vélocité. Nous montrons des simulations numériques illustrant le comportement des solutions d’un modèle non-local de trafic, lorsque la taille et la position du support du noyau ou la vélocité varient. En outre, nous considérons une classe de systèmes de M lois de conservation non-locales dans une dimension d’espace. Nous considérons un noyau anisotrope différent pour chaque équation du système. Le modèle prend en compte la distribution de conducteurs et de véhicules hétérogènes caractérisés par leurs vitesses maxi- males et leur horizon de vue dans un flux de trafic. Nous prouvons des estimations L∞ et BV uniformes sur les solutions approchées obtenues par un schéma numérique de type Godunov et nous montrons l’existence en temps petits de solutions faibles. Nous présentons également quelques simulations numériques pour M = 2. En particulier, nous considérons le cas d’un flux mixte de voitures et de poids lourds sur un tronçon de route et d’un flux de véhicules mixtes autonomes et non autonomes sur une route circulaire. L’approximation numérique des solutions de ce modèle est difficile en raison de la grande non-linéarité du système et de la dépendance de la fonction flux du terme de convolution. Nous présentons une généralisation des schémas de Lagrangian-Antidiffusive R