Transport optimal semi-discret et applications en optique anidolique

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de nombreux problèmes d’optique anidolique. Plus précisément, il s’agit de construire des composants optiques qui satisfont des contraintes d’illumination à savoir que l’on veut que la lumière réfléchie(ou réfractée) par ce composant corresponde à une distribution fixée en avance. Comme applications, nous pouvons citer la conception de phares de voitures ou de caustiques. Nous montrons que ces problèmes de conception de composants optiques peuvent être vus comme des problèmes de transport optimal et nous expliquons en quoi cette formulation permet d’étudier l’existence et la régularité des solutions. Nous montrons aussi comment, en utilisant des outils de géométrie algorithmique, nous pouvons utiliser une méthode numérique efficace, la méthode de Newton amortie, pour résoudre tous ces problèmes. Nous obtenons un algorithme générique capable de construire efficacement un composant optique qui réfléchit (ou réfracte)une distribution de lumière prescrite. Nous montrons aussi la convergence de l’algorithme de Newton pour résoudre le problème de transport optimal dans le cas où le support de la mesure source est une union finie de simplexes. Nous décrivons également la relation commune qui existe entre huit différents problèmes de conception de composants optiques et montrons qu’ils peuvent tous être vus comme des équations de Monge-Ampère discrètes. Nous appliquons aussi la méthode de Newton à de nombreux problèmes de conception de composants optiques sur différents exemples simulés ainsi que sur des prototypes physiques. Enfin, nous nous intéressons à un problème apparaissant en transport optimal numérique à savoir le choix du point initial. Nous développons trois méthodes simples pour trouver de “bons” points initiaux qui peuvent être ensuite utilisés comme point de départ dans des algorithmes de résolution de transport optimal. In this thesis, we are interested in solving many inverse problems arising inoptics. More precisely, we are interested in designing optical components such as mirrors andlenses that satisfy some light conservation constraints meaning that we want to control thereflected (or refracted) light in order match a prescribed intensity. This has applications incar headlight design or caustic design for example. We show that optical component designproblems can be recast as optimal transport ones for different cost functions and we explainhow this allows to study the existence and the re