Echanges d'intervalles. Equations cohomologiques et distributions invariantes

Dans cette thèse, on étudie deux thèmes, a priori différents mais qui rentrent dans le cadre des systèmes dynamiques : les échanges d’intervalles, la résolution d’équations cohomologiques et la description explicite des distributions invariantes par certains difféomorphismes d’un groupe de Lie compact.1 - On établit un critère d'existence de fonctions propres continues non constantes pour les échangesd'intervalles, c'est-à-dire de non mélange faible topologique. On construit pour tout entier m > 3des échanges de m intervalles de rang 2 uniquement ergodiques et non topologiquement faiblementmélangeants. Nous répondons aussi à une question de Ferenczi et Zamboni. On construit aussi pourtout entier pair m ≥ 4 des échanges de m intervalles possédant des valeurs propres irrationnelles et desvaleurs propres rationnelles (avec fonctions propres associées continues par morceaux) et qui sont soituniquement ergodiques, soit non minimaux.2 - On montre qu’un échange d’intervalles affine, dont les pentes sont des puissances d’un mêmeentier n, et dont les coupures et leurs images sont des rationnels , a une dynamique très simple : toutesses orbites sont propres et il possède une orbite périodique ou un cycle périodique.3 - On traite deux questions d’analyse sur un groupe de Lie connexe compact G. i) Soient a ∈ Get γ le difféomorphisme de G donné par γ(x) = ax (translation `a gauche par a). On donne lesconditions nécessaires et suffisantes pour que l’équation cohomologique f − f ◦ γ = g admette dessolutions dans l’espace de Fréchet C∞(G) des fonctions complexes C∞ sur G. ii) Lorsque G est le toreTn, on détermine explicitement les distributions sur Tn invariantes par un automorphisme affine γ i.e.γ(x) = Ax + a avec A ∈ GL(n, Z) et a ∈ Tn.4 - On donne des résultats obtenus dans 3) une application aux déformations infinitésimales d’unfeuilletage obtenu par suspension d’une translation d’un groupe de Lie compact. In this thesis, we study two subjects, which are priori different but are within the scopeof dynamical systems: interval exchange, the resolution of cohomological equationsand the explicit description of invariant distributions by a diffeomorphism on a compactLie group.1. We prove a criterion for the existence of continuous non constant eigenfunc-tions for interval exchange transformations which are non topologically weakly mixing.We first construct, for any m > 3, uniquely ergodic interval exchange transforma-tions of Q-rank 2 with irrational eigenvalues associated