Grundwissen Mathematikstudium Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2021]
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| Ausgabe: | 2. Auflage |
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| Online-Zugang: | Inhaltstext http://www.springer.com/ Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis Vorwort....................................................... V 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung 1 Mathematik-eine Wissenschaft für sich 1 1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch ............................................ 2 1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs .............................................................. 8 .................................................... 180 Zusammenfassung ........................................ 185 Aufgaben ...................................................... 186 6 Vektorräume ֊ von Basen und Dimensionen ................................. 189 6.1 Der Vektorraumbegriff 1.3 Ratschläge zum Einstieg in die ................................ 190 .................................................. 10 6.2 Beispiele von Vektorräumen ...................... 193 1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik ... 13 6.3 Untervektorräume ........................................ 196 6.4 Basis und Dimension 198 Mathematik 2 Logik, Mengen, Abbildungen ֊ die Sprache der Mathematik ............. 2.1 Junktoren und Quantoren .......................... 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 6.5 Summe und Durchschnitt von Unter 27 28 ........ 34 2.3 Abbildungen .................................................. 40 2.4 Relationen 49 .................................................... Zusammenfassung ............................... 58 Aufgaben 60 ...................................................... .................................. vektorräumen ................................................ 211
Zusammenfassung ........................................ 222 Aufgaben ...................................................... 223 7 Analytische Geometrie Rechnen statt Zeichnen ....................... 227 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum ........................................ 3 Algebraische Strukturen ein Blick hinter die Rechenregeln .... 3.1 Gruppen ........................................................ 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 63 64 3.2 Homomorphismen ........................................ 71 3.3 Körper ............................................................ 78 3.4 Ringe .............................................................. 85 Zusammenfassung ........................................ 95 Aufgaben 97 ...................................................... 4 Zahlbereiche ֊ Basis der gesamten Mathematik .......................................... 4.1 Der Körper der reellen Zahlen .................... 4.2 Anordnungsaxiome für die reellenZahlen 4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom .......................... 232 Anschauungsraum ........................................ 238 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im 7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen .................................................. 7.5 Wechsel zwischen kartesischen .................................. 257 Zusammenfassung ........................................ Koordinatensystemen 268 Aufgaben ..................... 270 8 Folgen - der Weg ins Unendliche .... 275 8.1 Der Begriff einer Folge ................................ 276 102 8.2 Konvergenz
.................................................... 283 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen ........ 291 Zusammenfassung ........................................ 299 Aufgaben 300 106 114 ...................................................... 117 4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen .......... 127 4.6 Komplexe Zahlen .......................................... 134 4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau ...................................................... 9 Funktionen und Stetigkeit ε trifft auf 8 ........................................ 9.1 Grundlegendes zu Funktionen .................. der reellen Zahlen ........................................ 148 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen Zusammenfassung ........................................ 155 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Aufgaben 156 ...................................................... 247 101 4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 228 . Stetigkeit 303 304 .. 310 ...................................................... 313 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte 5 Lineare Gleichungssysteme ein Tor zur linearen Algebra ............. 5.1 Erste Lösungsversuche ................................ Mengen .......................................................... 165 166 5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan ........................................ 172 322 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.......... 330 Zusammenfassung ........................................ 341 Aufgaben 342 ......................................................
VIII Inhaltsverzeichnis 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten . 347 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform 10.1 Motivation und Definition ........................ 348 und Jordan-Basis ....................................... 532 10.2 Kriterien für Konvergenz 355 14.9 Das Minimalpolynom einer Matrix ........... 544 363 Zusammenfassung ..................................... 548 368 Aufgaben 550 .......................... 10.3 Absolute Konvergenz ................................ 10.4 Kriterien für absolute Konvergenz ........... Zusammenfassung ..................................... 376 Aufgaben 377 .................................................. 11 Potenzreihen ֊ Alleskönner unter den Funktionen .......................................... 11.1 Definition und Grundlagen ...................... 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen ............................................. 381 382 389 11.3 Die Exponentialfunktion ............................ 398 11.4 Trigonometrische Funktionen .................. 403 11.5 Der Logarithmus ....................................... Zusammenfassung ..................................... Aufgaben .................................................. 12 Lineare Abbildungen und Matrizen ֊ Brücken zwischen Vektorräumen ........ 12.1 Definition und Beispiele ............................ 604 .............................. 608 ..................................... 617 16.2 Das Lebesgue-Integral 417 418 432 12.5 Das Produkt von Matrizen ........................ 442 ................... 446 16.3 Stammfunktionen 16.4 Integrationstechniken
................................ 622 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle ....................................... 627 16.6 Parameterabhängige Integrale ................. 16.7 Weitereintegrationsbegriffe ..................... oder Funktionen 638 642 Zusammenfassung ..................................... 654 Aufgaben 655 .................................................. 451 455 12.9 Der Dualraum ......................................... . 458 Zusammenfassung ................................... . 462 Aufgaben ................................................ . 464 17 Euklidische und unitare Vektorräume ֊ orthogonales Diagonalisieren ............. 17.1 Euklidische Vektorräume .......................... 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität .. 659 660 666 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale 469 13.1 Die Definition der Determinante ............. . 470 13.2 Determinanten von Endomorphismen ... . 475 13.3 Berechnung der Determinante ............... . 476 13.4 Anwendungen der Determinante ........... . 483 Zusammenfassung ................................... . 492 Aufgaben ................................................ . 494 Normalfermen - Diagonalisieren 497 14.1 Diagonalisierbarkeit ................................ . 498 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren ............... . 501 14.3 Berechnung der Eigenwerte und ......................................... . 14.4 Algebraische und geometrische 598 603 ................................ Eigenvektoren ................................................ .. ......... 422 und Triangulieren ......................................
Aufgaben 16.1 Integration von Treppenfunktionen 425 Determinanten ֊ Kenngrößen von Matrizen ........................................ 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen . .. 581 15.5 Taylorreihen ........................................... .. 587 Zusammenfassung .................................. .. 597 16 Integrale - von lokal zu global ......... .... 12.7 Elementarmatrizen ................................... 12.8 Basistransformation ................................ . 555 15.1 Die Ableitung ......................................... .. 556 15.2 Differenziationsregeln ............................ .. 564 15.3 Der Mittelwertsatz ................................. . 573 414 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel 12.6 Das Invertieren von Matrizen 15 Differenzialrechnungdie Linearisierung von Funktionen 408 413 12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 12.4 Darstellungsmatrizen .................................................. 503 Vielfachheit ............................................. . 510 14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen ... . 519 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen ,.. 522 14.7 Die Jordan-Normalform .......................... . 526 Komplemente ............................................. 672 17.4 Unitäre Vektorräume ................................ 682 17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 685 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen ......... 695 17.7 Normale Endomorphismen ...................... 701 Zusammenfassung ..................................... 709 712 Aufgaben .................................................. 18 Quadriken ֊
vielseitig nutzbare Punktmengen ............................................. 717 ................... 718 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen ............... 728 18.1 Symmetrische Bilinearformen 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation ........................................... 18.4 Die Singulärwertzerlegung ........................ 732 745 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung .................................................. Zusammenfassung ..................................... 747 757 Aufgaben 758 ..................................................
Inhaltsverzeichnis 19 Metrische Räume ֊ Zusammenspiel von Analysis und lineare Algebra .... 19.1 Metrische Räume und ihre Topologie .... 763 764 23.1 Kurven im K ................................................. 23.2 Das Kurvenintegral 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen 23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß sche Satz ............................. ...................................... 772 19.3 Kompaktheit ...................................................... 787 ......................................... 23.3 Flächen und Flächenintegrale 23.4 Der Gauß sche Satz ...................... ...................................... 957 958 966 974 986 .............................. 797 Zusammenfassung ............................................ 1009 19.5 Vollständigkeit ................................................. 802 Aufgaben 19.4 Zusammenhangsbegriffe 19.6 Banach- und Hilberträume ............................ 808 Zusammenfassung ........................................... 823 Aufgaben 825 .......................................................... 24 Optimierung - aber mit Nebenbedingungen ............................. 1015 24.1 20 Differenzialgleichungen ֊ Funktionen sind gesucht ..................... 20.1 Begriffsbildungen ........................................... 20.2 Elementare analytische Techniken 20.3 Existenz und Eindeutigkeit 830 .......................... 847 ......... 854 Zusammenfassung ........................................... 860 Aufgaben 861 Einführung 865 ........................................................ 866 21.2
Differenzierbarkeitsbegriffe: 24.3 Dualitätstheorie ....................................1026 .................................................1034 24.4 Differenzierbare Probleme ..............................1043 Zusammenfassung ............................................ 1051 Aufgaben ............................................................1052 25 Elementare Zahlentheorie Teiler und Vielfache ............................. 1057 25.1 Teilbarkeit ........................................................... 1058 ......................... 1059 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik .......... 1063 25.4 ggT und kgV ..................................................... 1064 25.5 Zahlentheoretische Funktionen ... 867 Zusammenfassung ............................................ 1080 ..................................... 881 21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze ......... 889 ... 891 21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema Aufgaben ............................................................1081 26 Elemente der diskreten Mathematik die Kunst des Zählens ......................... 1085 ............. 895 26.1 21.7 Der lokale Umkehrsatz .................................. 901 26.2 Einführung in die Kombinatorik 21.8 Der Satz über implizite Funktionen 26.3 Erzeugende Funktionen Einführung in die Graphentheorie ...............1086 ................... 1100 ........... 907 Zusammenfassung ........................................... 911 Zusammenfassung ............................................ 1111 Aufgaben
914 Aufgaben .......................................................... 22 Gebietsintegrale ֊ das Ausmessen von Mengen ........................................ 22.1 .....................1067 25.6 Rechnen mit Kongruenzen ............................. 1073 Totale und partielle Differenzierbarkeit 21.3 Differenziationsregeln ........................................ 1016 25.2 Der euklidische Algorithmus 21 Funktionen mehrerer Variablen Differenzieren im Raum ..................... 21.1 829 839 .......................................................... Lineare Optimierung 24.2 Das Simplex-Verfahren ............. 20.4 Grundlegende numerische Verfahren ............................................................1010 Definition und Eigenschaften ............................................................1113 Hinweise zu den Aufgaben......................... 1117 Lösungen zu den Aufgaben....................... 1135 Bildnachweis................................................ 1151 Symbolglossar deutsch/englisch................. 1153 Index............................................................. 1171 919 ...................... 22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen ..................................1107 ... 920 928 22.3 Die Transformationsformel ............................ 938 22.4 Wichtige Koordinatensysteme ...................... 944 Zusammenfassung ........................................... 952 Aufgaben 953 .......................................................... IX
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Inhaltsverzeichnis Vorwort. V 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung 1 Mathematik-eine Wissenschaft für sich 1 1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch . 2 1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs . 8 . 180 Zusammenfassung . 185 Aufgaben . 186 6 Vektorräume ֊ von Basen und Dimensionen . 189 6.1 Der Vektorraumbegriff 1.3 Ratschläge zum Einstieg in die . 190 . 10 6.2 Beispiele von Vektorräumen . 193 1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik . 13 6.3 Untervektorräume . 196 6.4 Basis und Dimension 198 Mathematik 2 Logik, Mengen, Abbildungen ֊ die Sprache der Mathematik . 2.1 Junktoren und Quantoren . 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 6.5 Summe und Durchschnitt von Unter 27 28 . 34 2.3 Abbildungen . 40 2.4 Relationen 49 . Zusammenfassung . 58 Aufgaben 60 . . vektorräumen . 211
Zusammenfassung . 222 Aufgaben . 223 7 Analytische Geometrie Rechnen statt Zeichnen . 227 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum . 3 Algebraische Strukturen ein Blick hinter die Rechenregeln . 3.1 Gruppen . 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum 63 64 3.2 Homomorphismen . 71 3.3 Körper . 78 3.4 Ringe . 85 Zusammenfassung . 95 Aufgaben 97 . 4 Zahlbereiche ֊ Basis der gesamten Mathematik . 4.1 Der Körper der reellen Zahlen . 4.2 Anordnungsaxiome für die reellenZahlen 4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom . 232 Anschauungsraum . 238 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im 7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen . 7.5 Wechsel zwischen kartesischen . 257 Zusammenfassung . Koordinatensystemen 268 Aufgaben . 270 8 Folgen - der Weg ins Unendliche . 275 8.1 Der Begriff einer Folge . 276 102 8.2 Konvergenz
. 283 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen . 291 Zusammenfassung . 299 Aufgaben 300 106 114 . 117 4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen . 127 4.6 Komplexe Zahlen . 134 4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau . 9 Funktionen und Stetigkeit ε trifft auf 8 . 9.1 Grundlegendes zu Funktionen . der reellen Zahlen . 148 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen Zusammenfassung . 155 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Aufgaben 156 . 247 101 4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 228 . Stetigkeit 303 304 . 310 . 313 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte 5 Lineare Gleichungssysteme ein Tor zur linearen Algebra . 5.1 Erste Lösungsversuche . Mengen . 165 166 5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan . 172 322 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz. 330 Zusammenfassung . 341 Aufgaben 342 .
VIII Inhaltsverzeichnis 10 Reihen - Summieren bis zum Letzten . 347 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform 10.1 Motivation und Definition . 348 und Jordan-Basis . 532 10.2 Kriterien für Konvergenz 355 14.9 Das Minimalpolynom einer Matrix . 544 363 Zusammenfassung . 548 368 Aufgaben 550 . 10.3 Absolute Konvergenz . 10.4 Kriterien für absolute Konvergenz . Zusammenfassung . 376 Aufgaben 377 . 11 Potenzreihen ֊ Alleskönner unter den Funktionen . 11.1 Definition und Grundlagen . 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen . 381 382 389 11.3 Die Exponentialfunktion . 398 11.4 Trigonometrische Funktionen . 403 11.5 Der Logarithmus . Zusammenfassung . Aufgaben . 12 Lineare Abbildungen und Matrizen ֊ Brücken zwischen Vektorräumen . 12.1 Definition und Beispiele . 604 . 608 . 617 16.2 Das Lebesgue-Integral 417 418 432 12.5 Das Produkt von Matrizen . 442 . 446 16.3 Stammfunktionen 16.4 Integrationstechniken
. 622 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle . 627 16.6 Parameterabhängige Integrale . 16.7 Weitereintegrationsbegriffe . oder Funktionen 638 642 Zusammenfassung . 654 Aufgaben 655 . 451 455 12.9 Der Dualraum . . 458 Zusammenfassung . . 462 Aufgaben . . 464 17 Euklidische und unitare Vektorräume ֊ orthogonales Diagonalisieren . 17.1 Euklidische Vektorräume . 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität . 659 660 666 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale 469 13.1 Die Definition der Determinante . . 470 13.2 Determinanten von Endomorphismen . . 475 13.3 Berechnung der Determinante . . 476 13.4 Anwendungen der Determinante . . 483 Zusammenfassung . . 492 Aufgaben . . 494 Normalfermen - Diagonalisieren 497 14.1 Diagonalisierbarkeit . . 498 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . 501 14.3 Berechnung der Eigenwerte und . . 14.4 Algebraische und geometrische 598 603 . Eigenvektoren . . . 422 und Triangulieren .
Aufgaben 16.1 Integration von Treppenfunktionen 425 Determinanten ֊ Kenngrößen von Matrizen . 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen . . 581 15.5 Taylorreihen . . 587 Zusammenfassung . . 597 16 Integrale - von lokal zu global . . 12.7 Elementarmatrizen . 12.8 Basistransformation . . 555 15.1 Die Ableitung . . 556 15.2 Differenziationsregeln . . 564 15.3 Der Mittelwertsatz . . 573 414 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel 12.6 Das Invertieren von Matrizen 15 Differenzialrechnungdie Linearisierung von Funktionen 408 413 12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 12.4 Darstellungsmatrizen . 503 Vielfachheit . . 510 14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen . . 519 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen ,. 522 14.7 Die Jordan-Normalform . . 526 Komplemente . 672 17.4 Unitäre Vektorräume . 682 17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 685 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen . 695 17.7 Normale Endomorphismen . 701 Zusammenfassung . 709 712 Aufgaben . 18 Quadriken ֊
vielseitig nutzbare Punktmengen . 717 . 718 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen . 728 18.1 Symmetrische Bilinearformen 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation . 18.4 Die Singulärwertzerlegung . 732 745 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung . Zusammenfassung . 747 757 Aufgaben 758 .
Inhaltsverzeichnis 19 Metrische Räume ֊ Zusammenspiel von Analysis und lineare Algebra . 19.1 Metrische Räume und ihre Topologie . 763 764 23.1 Kurven im K" . 23.2 Das Kurvenintegral 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen 23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß'sche Satz . . 772 19.3 Kompaktheit . 787 . 23.3 Flächen und Flächenintegrale 23.4 Der Gauß'sche Satz . . 957 958 966 974 986 . 797 Zusammenfassung . 1009 19.5 Vollständigkeit . 802 Aufgaben 19.4 Zusammenhangsbegriffe 19.6 Banach- und Hilberträume . 808 Zusammenfassung . 823 Aufgaben 825 . 24 Optimierung - aber mit Nebenbedingungen . 1015 24.1 20 Differenzialgleichungen ֊ Funktionen sind gesucht . 20.1 Begriffsbildungen . 20.2 Elementare analytische Techniken 20.3 Existenz und Eindeutigkeit 830 . 847 . 854 Zusammenfassung . 860 Aufgaben 861 Einführung 865 . 866 21.2
Differenzierbarkeitsbegriffe: 24.3 Dualitätstheorie .1026 .1034 24.4 Differenzierbare Probleme .1043 Zusammenfassung . 1051 Aufgaben .1052 25 Elementare Zahlentheorie Teiler und Vielfache . 1057 25.1 Teilbarkeit . 1058 . 1059 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik . 1063 25.4 ggT und kgV . 1064 25.5 Zahlentheoretische Funktionen . 867 Zusammenfassung . 1080 . 881 21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze . 889 . 891 21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema Aufgaben .1081 26 Elemente der diskreten Mathematik die Kunst des Zählens . 1085 . 895 26.1 21.7 Der lokale Umkehrsatz . 901 26.2 Einführung in die Kombinatorik 21.8 Der Satz über implizite Funktionen 26.3 Erzeugende Funktionen Einführung in die Graphentheorie .1086 . 1100 . 907 Zusammenfassung . 911 Zusammenfassung . 1111 Aufgaben
914 Aufgaben . 22 Gebietsintegrale ֊ das Ausmessen von Mengen . 22.1 .1067 25.6 Rechnen mit Kongruenzen . 1073 Totale und partielle Differenzierbarkeit 21.3 Differenziationsregeln . 1016 25.2 Der euklidische Algorithmus 21 Funktionen mehrerer Variablen Differenzieren im Raum . 21.1 829 839 . Lineare Optimierung 24.2 Das Simplex-Verfahren . 20.4 Grundlegende numerische Verfahren .1010 Definition und Eigenschaften .1113 Hinweise zu den Aufgaben. 1117 Lösungen zu den Aufgaben. 1135 Bildnachweis. 1151 Symbolglossar deutsch/englisch. 1153 Index. 1171 919 . 22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen .1107 . 920 928 22.3 Die Transformationsformel . 938 22.4 Wichtige Koordinatensysteme . 944 Zusammenfassung . 952 Aufgaben 953 . IX |
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