Geometrische Strukturen der Kontinuumsphysik Raum-Zeit-Exkursionen von der Euklidischen zur Riemannschen Geometrie
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer Spektrum
[2022]
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| Schriftenreihe: | Lehrbuch
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT
V
1
EINFUEHRUNG
1
2
ALGEBRAISCHE
GRUNDLAGEN
13
2.1
MENGEN
.
14
2.2
ABBILDUNGEN
.
19
2.3
AEQUIVALENZRELATIONEN
.
25
2.4
GRUPPEN
.
34
2.4.1
DEFINITION
UND
BEISPIELE
.
34
2.4.2
UNTERGRUPPEN
UND
NORMALTEILER
.
41
2.5
RINGE
UND
KOERPER
.
44
2.5.1
DEFINITIONEN
UND
BEISPIELE
.
44
2.5.2
KOERPER
DER
KOMPLEXEN
ZAHLEN
.
46
2.6
HOMOMORPHISMEN
.
48
2.7
VEKTORRAEUME
.
54
2.7.1
DEFINITIONEN
UND
BEISPIELE
.
54
2.7.2
VEKTORRAUM
-
HOMOMORPHISMEN
.
62
2.8
DUALE
VEKTORRAEUME
.
65
2.8.1
DUALITAETEN
.
65
2.8.2
DUALE
ABBILDUNGEN
.
70
2.9
MATRIZEN
.
72
2.9.1
HOMOMORPHISMEN
UND
MATRIZEN
.
72
2.9.2
MATRIZENARITHMETIK
.
74
2.10
BASISTRANSFORMATIONEN
.
80
2.10.1
BASIS
UND
KOORDINATENTRANSFORMATIONEN
.
80
2.10.2
TRANSFORMATIONSFORMELN
FUER
HOMOMORPHISMEN
.
82
2.11
DETERMINANTEN
.
84
2.11.1
DEFINITION
UND
EIGENSCHAFTEN
.
84
2.11.2
PERMUTATIONEN
.
86
2.11.3
FORMELN
VON
LEIBNIZ
UND
LAPLACE
.
87
2.11.4
DETERMINANTE
EINES
ENDOMORPHISMUS
.
93
2.12
ORIENTIERUNG
VON
VEKTORRAEUMEN
.
94
3
EUKLIDISCHE
GEOMETRIE
99
3.1
BILINEARFORMEN
.
100
3.1.1
DEFINITIONEN
UND
BEISPIELE
.
100
3.1.2
ISOMORPHISMUS
V
~
V*
.
103
X
INHALTSVERZEICHNIS
3.1.3
ADJUNGIERTER
HOMOMORPHISMUS
.
106
3.2
EUKLIDISCHE
VEKTORRAEUME
.
107
3.2.1
DEFINITIONEN
UND
BEISPIELE
.
107
3.2.2
ASSOZIIERTE
VEKTOREN
.
110
3.3
ORTHOGONALITAET
.
111
3.3.1
ORTHOGONALE
VEKTOREN
.
111
3.3.2
ORTHOGONALITAET
IN
PSEUDO-EUKLIDISCHEN
VEKTORRAEUMEN
.
115
3.3.3
KREUZPRODUKT
.
119
3.4
ORTHOGONALE
ENDOMORPHISMEN
.
122
3.4.1
DEFINITION
UND
EIGENSCHAFTEN
.
122
3.4.2
MATRIXDARSTELLUNG
ORTHOGONALER
ENDOMORPHISMEN
.
124
3.4.3
SPEZIELLE
ORTHOGONALE
ENDOMORPHISMEN
.
125
3.5
LORENTZ-RAEUME
.
129
3.5.1
ALLGEMEINE
LORENTZ-RAUM
STRUKTUR
.
129
3.5.2
LORENTZ-TRANSFORMATIONEN
.
136
3.6
AFFINE
RAEUME
.
140
3.6.1
DEFINITIONEN
.
141
3.6.2
AFFINE
ABBILDUNGEN
.
143
3.6.3
AFFINE
KOORDINATENSYSTEME
.
145
3.6.4
KOORDINATENDARSTELLUNG
AFFINER
ABBILDUNGEN
.
147
3.6.5
AFFINE
UNTERRAEUME
.
151
3.6.6
ERLANGER
PROGRAMM
.
153
3.7
EUKLIDISCHE
RAEUME
.
154
3.7.1
DEFINITIONEN
UND
EIGENSCHAFTEN
.
154
3.7.2
DIE
EUKLIDISCHE
GRUPPE
.
155
4
RAUMZEIT
161
4.1
AFFINE
RAUMZEIT
.
161
4.2
GALILEI-RAUMZEIT
.
168
4.3
LORENTZ-RAUMZEIT
.
176
4.3.1
LICHTKEGEL
.
176
4.3.2
KAUSALITAET
DER
LORENTZ-RAUMZEIT
.
178
4.3.3
WELTLINIEN
UND
EIGENZEIT
.
180
4.3.4
SIMULTANE
HYPERFLAECHEN
UND
RUHRAEUME
.
184
4.3.5
KINEMATIK
.
189
4.3.6
POINCARE-GRUPPE
.
197
4.3.7
DYNAMIK
.
199
5
TENSOREN
207
5.1
BILINEARE
UND
MULTILINEARE
ABBILDUNGEN
.
207
5.2
TENSORPRODUKTE
.
212
5.2.1
TENSORPRODUKT
ZWEIER
VEKTORRAEUME
.
212
5.2.2
HOEHERGRADIGE
TENSORPRODUKTE
.
217
5.3
TENSORABBILDUNGEN
.
222
5.3.1
PRODUKT
VON
TENSOREN
.
222
5.3.2
ASSOZIIERTE
TENSOREN
.
223
INHALTSVERZEICHNIS
XI
5.3.3
KONTRAKTION
.
224
5.3.4
PULL-BACK
UND
PUSH-FORWARD
.
227
5.4
SYMMETRISCHE
MULTILINEARFORMEN
.
232
5.5
ALTERNIERENDE
MULTILINEARFORMEN
.
235
5.5.1
DEFINITION
UND
EIGENSCHAFTEN
.
235
5.5.2
AEUSSERES
PRODUKT
.
237
5.5.3
DUALITAET
UND
INNERE
PRODUKTE
.
245
5.5.4
AEUSSERE
(GRASSMANN)
ALGEBRA
.
250
5.6
HODGE-DUALITAET
.
252
6
MANNIGFALTIGKEITEN
263
6.1
TOPOLOGISCHE
RAEUME
.
264
6.2
DIFFERENZIERBARE
FUNKTIONEN
.
276
6.3
DIFFERENZIERBARE
MANNIGFALTIGKEITEN
.
285
6.4
QUOTIENTENMANNIGFALTIGKEITEN
.
294
6.5
PROJEKTIVE
RAEUME
.
300
6.6
GLATTE
ABBILDUNGEN
.
303
6.7
UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
.
309
6.7.1
UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
ALS
NULLSTELLENMENGEN
.
312
6.7.2
PARAMETERERZEUGTE
UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
.
316
6.7.3
ALLGEMEINES
ZU
UNTERMANNIGFALTIGKEITEN
.
319
6.8
ZERLEGUNG
DER
EINS
.
321
7
LOKALISIERUNGEN
UND
FELDER
325
7.1
TANGENTIALRAEUME
.
325
7.1.1
GEOMETRISCHE
INTERPRETATION
VON
TANGENTIALRAEUMEN
.
326
7.1.2
PHYSIKALISCHE
INTERPRETATION
VON
TANGENTIALRAEUMEN
.
329
7.1.3
ALGEBRAISCHE
INTERPRETATION
VON
TANGENTIALRAEUMEN
.
330
7.2
STRUKTUR
DER
TANGENTIALRAEUME
.
333
7.2.1
STRUKTUR
DES
TANGENTIALRAUMES
T
P
(FUEL)
.
333
7.2.2
STRUKTUR
DES
KOTANGENTIALRAUMES
TJ,
(SUT)
.
336
7.3
TANGENTIALBUENDEL
.
340
7.4
TANGENTIALE
(DIFFERENTIALE)
.
342
7.5
VEKTORFELDER
.
349
7.5.1
RICHTUNGSABLEITUNG
BEZUEGLICH
EINES
VEKTORFELDES
.
352
7.5.2
VEKTORFELDER
ALS
DERIVATIONEN
.
354
7.5.3
KOMMUTATOR
UEBER
VEKTORFELDER
.
355
7.5.4
KOVARIANTE
VEKTORFELDER
.
359
7.6
VEKTORBUENDEL
UND
TENSORFELDER
.
362
7.7
PULL-BACK
UND
PUSH-FORWARD
.
367
8
DIFFERENTIALFORMEN
375
8.1
AEUSSERE
ALGEBRA
DER
DIFFERENTIALFORMEN
.
376
8.2
PULL-BACK
ZU
DIFFERENTIALFORMEN
.
378
8.3
AEUSSERE
ABLEITUNG
.
382
8.4
POINCARE-LEMMA
.
388
XII
INHALTSVERZEICHNIS
8.5
DE
RHAM-KOMPLEX
.
394
9
FLUSS
UND
LIE-ABLEITUNG
405
9.1
FLUSS
EINES
VEKTORFELDES
.
405
9.2
DERIVATIONEN
.
412
9.3
LIE-ABLEITUNG
.
416
9.3.1
LIE-ABLEITUNG
FUER
VEKTORFELDER
.
418
9.3.2
LIE-ABLEITUNG
FUER
TENSORFELDER
.
421
9.4
LIE-ABLEITUNG
ZU
DIFFERENTIALFORMEN
.
425
9.5
INTEGRAL-MANNIGFALTIGKEITEN
.
429
10
ZUSAMMENHANG
437
10.1
AFFINER
ZUSAMMENHANG
.
438
10.2
KOVARIANTE
ABLEITUNGEN
.
443
10.3
PARALLELTRANSPORT
.
448
10.4
HOLONOMIE
.
455
10.5
GEODAETEN
.
457
10.6
TORSION
.
459
10.7
KRUEMMUNG
.
468
10.8
ZUSAMMENHAENGE
IM
CARTAN-KALKUEL
.
474
11
RIEMANNSCHE
GEOMETRIE
477
11.1
MANNIGFALTIGKEITEN
MIT
INNEREM
PRODUKT
.
478
11.2
INDUZIERTE
RIEMANNSCHE
MANNIGFALTIGKEITEN
.
482
11.3
ISOMETRISCHE
ABBILDUNGEN
.
486
11.4
LEVI-CIVITA-ZUSAMMENHANG
.
493
11.5
LC-ZUSAMMENHANG
UEBER
DIFFERENTIALFORMEN
.
500
11.6
INDUZIERTE
LEVI-CIVITA-ZUSAMMENHAENGE
.
503
11.7
KRUEMMUNG
.
508
11.8
SCHNITTKRUEMMUNGEN
.
516
11.9
HYPERFLAECHEN
IM
K
M+1
.
523
LL.LOEINSTEIN-RAEUME
UND
EINSTEIN-TENSOREN
.
530
H.LLGEODAETEN
.
532
11.11.1
EXPONENT
IALABBILDUNG
.
540
11.11.2
NORMALKOORDINATEN
.
542
11.11.3
VARIATION
VON
KURVEN
-
GEODAETEN
KUERZESTER
LAENGE
.
545
12
INTEGRALE
UND
VARIATIONEN
555
12.1
ORIENTIERUNG
.
555
12.2
MANNIGFALTIGKEITEN
MIT
RAND
.
567
12.3
RIEMANN-INTEGRALE
.
571
12.4
VOLUMENFORMEN
.
578
12.5
INTEGRALE
UEBER
DIFFERENTIALFORMEN
.
585
12.6
INTEGRALSATZ
VON
STOKES
.
592
12.7
VARIATIONSRECHNUNG
.
597
12.8
NOETHER-THEOREM
.
602
INHALTSVERZEICHNIS
XIII
13
DIFFERENTIALOPERATOREN
611
13.1
GRADIENT
UND
ROTATION
.
612
13.2
DIVERGENZ
.
616
13.3
KODIFFERENTIAL
.
619
13.4
HODGE-LAPLACE-OPERATOR
.
623
13.5
CARTAN-KALKUEL
.
627
13.6
INTEGRALSAETZE
.
630
14
ELEKTRO-MAGNETISCHE
FELDER
635
14.1
MAXWELL-GLEICHUNGEN
.
635
14.2
RELATIVISTISCHE
ELEKTRODYNAMIK
.
644
14.3
ENERGIE
UND
IMPULS
.
655
15
GRAVITATION
659
15.1
NEWTONSCHE
GRAVITATIONSTHEORIE
.
660
15.2
AEQUIVALENZPRINZIP
.
664
15.3
BLAETTERUNG
DER
RAUMZEIT
.
674
15.4
ENERGIE-IMPULS-TENSOR
.
689
15.5
EINSTEINSCHE
FELDGLEICHUNGEN
.
696
15.6
3+1
FORMALISMUS
.
704
16
KONTINUUMSMECHANIK
711
16.1
KINEMATIK
DEFORMIERBARER
KOERPER
.
712
16.1.1
DEFORMATION
UND
VERZERRUNG
.
717
16.1.2
BEWEGUNG
IN
DER
ZEIT
.
729
16.1.3
OBJEKTIVITAET
.
737
16.2
KINETIK
DEFORMIERBARER
KOERPER
.
741
16.2.1
MASSEBILANZ
.
741
16.2.2
MASTER-BILANZ
UND
CAUCHY-THEOREM
.
743
16.2.3
IMPULSBILANZEN
UND
SPANNUNGEN
.
745
16.2.4
ENERGIEBILANZ
.
752
16.3
KONSTITUTIVE
GLEICHUNGEN
.
756
16.3.1
ELASTISCH
DEFORMIERBARE
KOERPER
.
757
16.3.2
GASE
UND
FLUESSIGKEITEN
.
761
A
NOMENKLATUR
765
LITERATURVERZEICHNIS
773
SYMBOL
UND
STICHWORTVERZEICHNIS
779 |
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