Messtechnik Systemtheorie für Ingenieure und Informatiker
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Berlin
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| adam_text | IX Inhaltsverzeichnis 1 Messsysteme und Messfehler 1 1.1 Messskalen..................................................................... 3 1.2 Metrische Größen...................................................... ...................... . . . 5 1.2.1 Einheitensystem............................................................................ 6 1.2.2 Anpassung der Definitionen der Einheiten ............ ............... 9 1.3 1.4 1.5 2 2.1 Messsysteme Struktur von Messsystemen................... 1.3.2 Beschreibung von Messsystemen im Zustandsraum 9 9 .... 11 1.3.3 Physikalische Messkennlinie...................................................... 13 1.3.4 Messsignale als Informationsträger......................................... 13 Messfehler............................................................................... 15 1.4.1 16 Absoluter und relativer Fehler................................................... 1.4.2 Fehlerursachen............................................................................ 17 1.4.3 Spezifizierte Normalbedingungen............................................ 19 Literatur.................................................................................................. ... . 22 Kurvenanpassung 23 Approximation.................. 2.1.1 2.2 ........................................................................................... 1.3.1 26 Approximation mit orthonormalen Funktionensystemen .. 26 2.1.1.1 Approximation mit der Fourier-Reihe ........ 29 2.1.1.2 Approximation mit Walsh-Funktionen ................... 29 2.1.2 Least-Squares-
Schätzer............................................................ 31 2.1.3 Regressionsanalyse 32 ................................................................... Interpolation........................................................................................ 34 2.2.1 Polynominterpolation . . . ........................................................... 34 2.2.2 Interpolation durch Lagrange-Polynome................................ 35 2.2.3 Interpolation durch Newton-Polynome 37 2.2.4 Spline-Interpolation......................... 41 2.2.5 Systemtheoretische Deutung der Interpolation .. .............. 45 2.3 Kennfeldinterpolation . ............................................................................ 47 2.4 Literatur. ......................... 51 3 3.1 ................................... Stationäres Verhalten von Messsystemen 53 Stationäre Messkennlinie und deren Fehler........................................ 55 3.1.1 Ideale und reale Messkennlinie...................... 55 3.1.2 Abgleich der Messkennlinie...................................................... 56 3.1.3 Kennlinienfehler bei realer Kennlinie 58 ......................................
Inhaltsverzeichnis 3.1.4 3.2 3.3 3.1.3.1 Relativer Kennlinienfehler................... ... . . . 58 3.1.3.2 Hysterese und Umkehrspanne................................ 59 Abschätzung des Kennlinienfehlers...................................... Kennlinienfehler unter Normalbedingungen...................... 64 3.2.1 Herabsetzen des Messbereichs............................... 64 3.2.2 Reihenschaltung zweier nichtlinearer Glieder ........ 67 3.2.3 Wahl des günstigsten Messbereichs 70 3.2.4 Differenzmethode............................................... 76 3.2.5 Gegenkopplung................................................... .... .... 82 Kennlinienfehler bei Abweichungen von den Normalbedingungen . 86 3.3.1 Superponierende Störgrößen................ 86 3.3.2 Unterdrückung superponierender Störgrößen mit der ............. Differenzmethode......................................... .................. ... . ՛. .·■ 88 3.3.3 Deformierende Störgrößen..................................... 89 3.3.4 Deformierende Störgrößen bei Gegenkopplung . . ..... 92 3.3.5 Superponierende Störgrößen bei Gegenkopplung . ... . . 95 3.3.6 Kompensation systematischer Störeinflüsse ......... 95 3.3.7 Abschirmung............................................................... 96 3.3.8 Superponierende Störgrößen in Messketten ......... 96 3.3.9 Zerhackerverstärker............................................ 98 3.4 Rückwirkung des Messsystems......................................... 3.5 Literatur............................................................ 4 4.1 4.2 60 ..101 104 Zufällige Messfehler Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitstheorie 105 ............... . 109 . 112 4.1.1 Wahrscheinlichkeitsdichte............................................ 4.1.2 Wahrscheinlichkeitsdichten abgebildeter Größen . . .... 117 4.1.3 Momente der Statistik 1. Ordnung . . . . ................... ... . . . 118 4.1.4 Momente der Statistik 2. Ordnung . . ............................ 121 4.1.5 Korrelationskoeffizient.................................. 4.1.6 Charakteristische Funktion...................... ...................... 126 . 127 Parameterschätzung.................................................. 129 4.2.2.1 Stichprobenmittelwert...................................... . . . 130 4.2.2.2 Stichprobenvarianz...................................... ... 132 4.2.2.3 Numerische Berechnung von Mittelwert und Stichproben 4.2.1 4.2.2 ..................................................................... Häufigkeitsverteilung und Histogramm...........128 Varianz............................... 4.2.3 123 . . Gesetz der großen Zahlen............................ 134 135
Inhaltsverzeichnis 4.2.4 4.3 4.4 XI Mittelung zur Störungsunterdrückung.............................. 137 4.2.4.1 Lineare Kennlinie............................ 137 4.2.4.2 Nichtlineare Kennlinie ................................................ 138 Normalverteilte Zufallsvariable............................... 139 4.3.1 Normalverteilung......................................................................... 139 4.3;2 4.3.3 Zentraler Grenzwertsatz....................................... x2-Verteilung ............................................................................... 141 143 4.3.4 Student’sche t-Verteilung . .......................................................... 147 Statistische Testverfahren...................................... 148 4.4.1 148 Konfidenzintervall und statistische Sicherheit...................... 4.4.1.1 Konfidenzintervall bei bekannter Standard abweichung .................................. 4.4.1.2 149 Konfidenzintervall bei geschätzter Standard abweichung ............................ 152 4.4.2 Hypothesen und statistische Tests ................................... ... . 154 4.4.3 4.4.4 Signifikanztest für den Stichprobenmittelwert...................... x2-Anpassungstest...................................................................... 155 157 Qualitätssicherung................................................................................... 161 4.5.1 Beurteilung von Fertigungsprozessen...................................... 161 4.5.2 Bestimmung der Ausfallrate ...................................................... 163 4.5.3 Statistische
Prozessüberwachung............................................ 168 4.6 Fehlerfortpflanzung.................................................................................. 173 4.7 Literatur......................................................................................................... 176 4.5 5 5.1 5.2 5.3 5.4 Dynamisches Verhalten von Messsystemen 179 Beschreibung von Messsystemen......................................................... 181 5.1.1 Systemeigenschaften................................................................... 181 5.1.2 Lineare, zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme)...................... 182 5.1.3 Stabilität ......................................................... 184 Empirische Analyse von Messsystemen ............................................ 186 5.2.1 Kennwerte der Sprungantwort................................................... 186 5.2.2 Nichtlineares dynamisches Verhalten ....................................... 187 5.2.3 Bestimmung des Frequenzganges......................................... 188 Verbesserung des dynamischen Systemverhaltens......................... 191 5.3.1 5.3.2 193 193 Optimierung der Systemparameter......................................... Änderung der Systemstruktur............................ Parameteroptimierung.................................. 194 5.4.1 197 Kriterium „verschwindende Momente der Impulsantwort“ . .
Inhaltsverzeichnis XII 5.4.2 Kriterium „konstanter AmpHtudengang für kleine Frequenzen“......................... 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.5 6.1 6.2 212 System 1. Ordnung................... ............................ ... . 213 5.4.4.2 System 2. Ordnung 213 6.4 ...................... Kriterium „quadratisches Fehlerintegral“ ................................ Strukturänderung zur Optimierung des Zeitverhaltens . . . .... . 217 224 5.5.1 Kompensation des Zeitverhaltens............................. . ... . 224 5.5.2 Zeitverhalten bei Gegenkopplung . . 228 ............... .... . P-Regler.................... 230 PI-Regler......................................... 234 Literatur. ......................................................... 237 Stochastische Signale 239 Stochastische Prozesse...................................... ... . ................ ... 6.1.1 Einführung......................................................... ... 6.1.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeits 243 . . . 243 dichte ..................................................................... 245 248 6.1.3 Schar-und Zeitmittelwerte.................................. 6.1.4 Momente der Statistik 1. Ordnung . . ...................... 249 6.1.5 Momente der Statistik 2. Ordnung................... ... . . . ..... . . 249 6.1.6 Stationäre Prozesse 252 6.1.7 Ergodiche Prozesse......................................................... Korrelationsfunktionen 6.2.1 6.3 205 ITAE-Kriterium............................................ 5.5.2.2 6 .... 5.4.4.1 5.5.2.1 5.6 200 Kriterium „konstanter Realteil des
Frequenzganges“ ...................................................... 254 ............................................... 258 Signalklassen......................................... 6.2.1.1 Ergodische Prozesse 6.2.1.2 Funktionenräume............................................. 258 ................ 260 260 6.2.2 Korrelation von Leistungssignalen................ 261 6.2.3 Korrelation von Energiesignalen......................... 263 6.2.4 Eigenschaften von Auto-und Kreuzkorrelationsfunktion .. 265 Korrelationsmesstechnik............................................... 267 6.3.1 6.3.2 Messung von Korrelationsfunktionen............................... Ähnlichkeit von Signalen, Laufzeitmessung ......................... 267 268 6.3.3 Closed-Ioop-Korrelation 273 6.3.4 6.3.5 Polaritätskorrelation ......................................... Ähnlichkeit von Spektren, Dopplerfrequenzmessung .... 276 278 6.3.6 Selbstähnlichkeit............................................ 280 ...................... Spektrale Darstellung stochastischer Signale.................................. 281
XIII Inhaltsverzeichnis 6.5 6.4.1 Leistungsdichtespektrum............................................................ 281 6.4.2 6.4.3 Rauschen..................................................... Überlagerung zufälliger Störsignale............................... 284 289 6.4.4 Übertragung stochastischer Signale durch LTI-Systeme . . 290 Systemidentifikation............................ 294 6.5.1 Schätzung des Leistungsdichtespektrums............................. 295 6.5.2 Systemidentifikation bei geschätzter Leistungsdichte .... 297 6.5.2.1 Quotientenbildung gemittelter Periodogramme . . 297 6.5.2.2 Quotientenbildung gemittelter Kreuzleistungs dichten 6.5.3 6.6 6.7 ......................................................................... 297 Dynamische Systemidentifikation............................................ 298 Signaldetektion...................... 300 6.6.1 Signalmodell............................................ 300 6.6.2 Matched-Filter............................... 301 6.6.3 Matched-Filter bei farbigem Rauschen................................... 302 Wiener-Filter ................................................................................................ 304 6.7.1 Signalmodell.................................................................................. 305 6.7.2 Herleitung des Wiener-Filters................................................... 306 6.7.3 Wiener-Filter bei linearer Verzerrung und additivem Rauschen 6.8 7 7.1 7.2 ................................................... 307
Literatur..................................................................... 314 Erfassung analoger Signale 315 Abtastung............................................................................... 318 7.1.1 Abtasttheorem..................................... 318 7.1.2 Bandüberlappungsfehler {Aliasing)......................................... 320 7.1.3 Anti-Aliasing-Filter......................... 323 7.1.4 Mittelwertbildung bei endlicher Abtastdauer......................... 325 7.1.5 Zeitliche Abtastfehler...................... 329 Quantisierung.................................. 333 7.2.1 Wahrscheinlichkeitsdichte der Signalwerte...................... 336 7.2.2 Amplitudendichte der Fourier-Reihe......................................... 338 7.2.3 Quantisierungstheorem...................................... 340 7.2.4 Wahrscheinlichkeitsdichte des Quantisierungsfehlers .... 345 7.2.5 Signal-Rausch-Verhältnis infolge der Quantisierung............. 347 7.2.5.1 Sinusförmige Signale............................................ . 348 7.2.5.2 Signale mit gleichverteilten Amplituden................ 348 7.2.6 Optimale Quantisierung ............................................ 7.2.7 Minimierung des relativen Quantisierungsfehlers................ 348 349
XIV Inhaltsverzeichnis 7.2.8 7.3 352 Analog-Digital-Umsetzer............................................... 356 7.3.1 A/D-Nachlaufumsetzer............................................................... 357 7.3.2 A/D-Umsetzer mit sukzessiver Approximation . . . ... . . 358 7.3.3 Integrierende A/D-Umsetzer............................ 360 7.3.4 Delta-Sigma-Umsetzer ......................................... 362 7.3.4.1 Delta-Sigma-Modulator . . ................... 362 7.3.4.2 Rauschformung (noise shaping) . . . .................... 364 7.3.4.3 Digitalfilter. ............................................... 366 7.3.4.4 Stationäres Verhalten............................................ ... 367 7.3.5 7.4 Dithering.................................. Ratiometrische Messung.................................................. 370 Digital-Analog-Umsetzer............................................... 370 7.4.1 371 Parallele D/A-Umsetzer...................... 7.4.1.1 D/A-Umsetzer mit dyadisch gestuften Widerständen............................... 7.4.1.2 7.4.2 7.5 8 8.1 8.2 Serielle D/A-Umsetzer.............................. . 372 . . . . . 373 376 Frequenz- und Drehzahlmessung 379 Allgemeiner Frequenzbegriff.................................................. 382 Digitale Drehzahlmessung..................................................................... 388 8.2.1 Periodendauermessung 390 8.2.2 Frequenzmessung . . . ......................................... ............................ 390 Maximaler Quantisierungsfehler für einen Zählvorgang . . . 392 8.2.3.1 Quantisierungsfehler bei der
Periodendauer 8.2.3.2 Quantisierungsfehler bei der Frequenzmessung . 393 8.2.4 Mittelwertbildung bei der Drehzahlmessung .......................... 394 8.2.5 Abtastung bei der Drehzahlmessung . . . 8.2.6 Quantisierung bei fortlaufenden Periodendauermessungen 8.2.7 Leistungsdichte des Quantisierungsfehlers .. 8.2.8 Kompensation mechanischer Fehler des Sensorrades... 404 8.2.8.1 Stochastische Zahnflankenfehler ......... . 405 8.2.8.2 Schätzung der Zahnflankenfehler............................ 406 messung 8.4 . . Literatur.................................................. 8.2.3 8.3 371 D/A-Umsetzer mit іг/2-R-Kettenleiternetzwerk .................................. 392 ................... ... . ................ . 397 398 402 Kontinuierliche Frequenzmessung . ..................................... 410 8.3.1 Phasenregelkreis ............................................... 410 8.3.2 Frequenzregelkreis......................................... 414 Positions-und Richtungserkennung...................... 416
Inhaltsverzeichnis 8.5 8.4.1 Drehrichtungserkennung.................................. 416 8.4.2 Positionsbestimmung................................................................... 418 Literatur............................................................................................................ A Symbole und Tabellen A.1 XV Symbolverzeichnis......................................................................................... 421 423 425 A.1.1 Konventionen............................................................................... 425 A.1.2 Operatoren..................................................................................... 425 A.1.3 Lateinische Symbole.................. 425 A.1.4 Griechische Symbole.................................................................. 429 A.2 Tabellen............................................................................................................ Index 430 431
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