Rechnen mit musikalischen Intervallen, Skalen und Stimmungen im historischen Kontext
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Frankfurt am Main
PL Acad. Research
2014
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INHALT
EINLEITUNG 1
I. INTERVALLE UND SKALEN IM ANSCHAUUNGSRAUM 7
§ 1 SCHAETZEN, MESSEN UND RECHNEN IM ANSCHAUUNGSRAUM 7
§ 2 DARSTELLUNG VON SKALEN DURCH REELLE ZAHLEN 7
§ 3 REELLE ZAHLEN UND KETTENBRUECHE 9
§ 4 RECHNEN MIT DYNAMISCHEN SKALEN UND INTERVALLEN 12
§ 5 RECHNEN MIT STATISCHEN SKALEN 14
§ 6 RECHNEN MIT STATISCHEN INTERVALLEN 17
II. MUSIKALISCHE SKALEN UND INTERVALLE 18
§ 7 GRUNDLEGENDE HYPOTHESEN FUER MUSIKALISCHE SKALEN 18
§ 8 DIE BEIDEN ANSAETZE FUER DIE UNTERSUCHUNG VON SKALEN 20
§ 9 OKTAVE, QUINTE UND QUARTE ALS STIMMKONSONANZEN 21
§ 10 KETTENDIFFERENZEN 22
§11 OKTAVREDUKTION,
BASISOKTAVE UND KOMPLEMENTAERINTERVALLE 24
§12 HEPTATONISCHE
OKTAVSKALEN 24
§ 13 ABSCHAETZUNG DER QUARTE 25
§ 14 VIELFALT DER ANTIKEN TONGESCHLECHTER 25
§ 15 BEDEUTUNG DES DIATONISCHEN TONGESCHLECHTS 26
DI. DIATONISCH GEGLIEDERTE SKALEN UND GLEICHMAESSIGES ZWOELFERSYSTEM 26
§ 16 DIATONISCHES GESCHLECHT, DOPPELGANZTON UND HALBTON 26
§ 17 DIATONISCHE SKALA, DIATONISCHE SEQUENZ UND OKTAVGATTUNGEN 26
§18 GLEICHMAESSIGES
ZWOELFERSYSTEM 27
IV. REGULAER STRUKTURIERTE DIATONISCHE SKALEN 28
§ 19 REGULAERE DIATONISCHE FEINSTRUKTUR 28
§ 20 DIATONISCHE INTERVALLKLASSEN 29
§ 21 DIFFERENZIERENDE DARSTELLUNG BEI REGULAERER FEINSTRUKTUR 31
V. LINIENSYSTEM 32
§ 22 LINIENSYSTEM UND INTERVALLKLASSEN 32
§ 23 SOLMISATION UND LINIENSYSTEM 37
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VI INHALT
VI. STIMMUNGEN UND NOTATION 39
§ 24 TASTENINSTRUMENTE MIT NORMALTASTATUR 39
§ 25 DIE NOTATION DIATONISCHER SKALEN IM LINIENSYSTEM 41
§ 26 ALLGEMEINE STIMMUNGEN UND KOMPLEMENTARITAET 46
§ 27 INTERVALLUMGEBUNG UND PARAMETRISIERUNG EINER STIMMUNG 49
VII. KONSONANZBASIERTE INTERVALLSYSTEME UND DIATONISCHER ALGORITHMUS 54
§ 28 DER BEGRIFF DES INTERVALLSYSTEMS 54
§ 29 REGULAERE INTERVALLSYSTEME UND QUINTSYSTEME 56
§ 30 DIE BASISOKTAVE VON REGULAEREN INTERVALLSYSTEMEN 57
§ 31 ZUR NOTATION REGULAERER SYSTEME IM LINIENSYSTEM 59
§ 32 DER DIATONISCHE ALGORITHMUS IN REGULAEREN SYSTEMEN 60
§ 33 REGULAERE AUSWAHLSTIMMUNGEN 64
§ 34 DIE ENTSTEHUNG DER BIREGULAEREN DIATONISCHE STRUKTUR 65
§ 35 BIREGULAERE INTERVALLSYSTEME UND QUINT-TEIZ-SYSTEME 67
§ 36 DAS QUINT-TERZ-TRAPEZ (QT-TRAPEZ) 68
§ 37 DIE BASISOKTAVE VON BIREGULAEREN INTERVALLSYSTEMEN 69
§ 38 ZUR NOTATION BIREGULAERER SYSTEME IM LINIENSYSTEM 70
§ 39 REGULAERE UND BIREGULAERE OKTAVTEILUNGEN NIEDERER ORDNUNG 73
§ 40 DER DIATONISCHE ALGORITHMUS IN BIREGULAEREN SYSTEMEN 74
VM. MUSIKALISCHE INTERVALLWAHRNEHMUNG UND MODELLBILDUNG 78
§ 41 PHYSIKALISCHE GRUNDANNAHMEN IM FREQUENZMODELL 78
§ 42 LOGARITHMEN IM TREPPEN- UND FREQUENZMODELL 79
§ 43 DAS MERSENNESCHE GESETZ UND DAS SAITENLAENGENMODELL 80
§ 44 AEQUIVALENZ DER DREI MODELLE 81
§ 45 DEUTLICHKEIT BEI DER MUSIKALISCHEN INTERVALLWAHRNEHMUNG 84
IX. PYTHAGOREISCHES UND NATUERLICHES SYSTEM ALS HISTORISCHE SYSTEME 87
§ 46 DER HISTORISCHE HINTERGRUND DES PYTHAGOREISCHEN SYSTEMS 87
§ 47 DIE GRUNDKONSTRUKTION DES PYTHAGOREISCHE SYSTEMS 89
§ 48 NUMERISCHE GESTALT DES PYTHAGOREISCHEN SYSTEMS 90
§ 49 ZUM HINTERGRUND DES NATUERLICHEN SYSTEMS 92
§ 50 NUMERISCHE GESTALT DES NATUERLICHEN SYSTEMS 93
§ 51 REALISIERBARKEIT UND TEMPERATUR DES NATUERLICHEN SYSTEMS 97
§ 52 REGULAERE TEMPERATUREN DES NATUERLICHEN SYSTEMS 100
§53 DARSTELLUNG
VON
INTERVALLSYSTEMEN
IM QT-TRAPEZ 101
X. STIMMUNGEN UND NATUERLICHES SYSTEM 104
§ 54 REINE PARAMETER EINER ALLGEMEINEN TEMPERIERTEN STIMMUNG 104
§ 55 REINE PARAMETER BEI REGULAEREN STIMMUNGEN 106
§ 56 PYTHAGOREISCHE UND NATUERLICHE AUSWAHL
STIMMUNGEN
108
INHALT VII
XI. NATURWISSENSCHAFTLICHE LEGITIMATION DES NATUERLICHEN SYSTEMS 109
§ 57 MODERNE NATURWISSENSCHAFTLICHE LEGITIMATION 109
§ 58 DIE KOINZIDENZTHEORIE 110
§ 59 PARTIALTOENE UND KOINZIDENZ 114
§ 60 PHYSIKBASIERTE THEORIEN UND NATUERLICHES SYSTEM 116
XII. ZUM RECHNEN MIT PROPORTIONEN UND PROGRESSIONEN 119
§ 61 PROGRESSIONEN UND PROPORTIONEN 119
§ 62 PROGRESSIONEN IM SAITENLAENGEN- UND FREQUENZMODELL 119
§ 63 GEWINNUNG NEUER PROGRESSIONEN AUS EINER PROGRESSION N 121
§ 64 VERKNUEPFUNGEN ZWEIER PROGRESSIONEN N UND P 122
§ 65 FORMALER INTERVALLKALKUEL MIT PROPORTIONEN 122
§ 66 BESONDERHEITEN BEI GANZZAHLIGEN PROGRESSIONEN 124
§ 67 ARITHMETISCHE UND HARMONISCHE TEILUNG 125
§ 68 RECHNEN MIT UEBERTEILIGEN PROPORTIONEN 127
ANHANG 131
A.1 GEOMETRISCHE PROGRESSIONEN IM SAITENLAENGENMODELL 132
A.2 ZUR MODELLBILDUNG BEI LINDLEY UND TURNER-SMITH 156
A.3 OKTAVTEILUNGEN NIEDRIGER ORDNUNG 159
A.4 EINE AUSWAHL VON 612 NATUERLICHEN INTERVALLEN 163
STICHWORTVERZEICHNIS 177
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