Cyclic redundancy check für die industrielle Kommunikation Probleme, Nutzen und Risiken ; Abschätzung der Restfehlerwahrscheinlichkeit von CRC-Codes
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München
Oldenbourg
2013
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
DANKSAGUNG VII
HAFTUNGSAUSSCHLUSS IX
LEBENSLAUF IX
SYMBOLVERZEICHNIS XI
1 EINLEITUNG 1
1.1 SHANNON-HARTLEY THEOREM UND SHANNON-LIMIT 4
1.2 AUFBAU UND STRUKTUR VON CODES 4
1.2.1 AUFBAU UND STRUKTUR EINES LINEAREN BLOCK-CODES 5
1.3 DEFINITION EINES LINEAREN BLOCK-CODES 5
1.3.1 DAS LINEARITAETSKRITERIUM 6
1.4 STRUKTUR UND AUFBAU DES AUFSATZES 6
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 7
2.1 IMPLEMENTIERUNG DES CODES MITTELS CRC 7
2.2 HAMMING-DISTANZ 11
2.3 GEWICHTSVERTEILUNG A F EINES CODES 11
2.4 ZYKLUSLAENGE 13
2.5 RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT 15
2.6 SYSTEMATISCHE GENERATORMATRIX 15
2.7 FEHLERERKENNUNG UND RESTRISIKO 17
2.8 FEHLERKORREKTUR UND HAMMING-DISTANZ 18
2.9 GRENZEN DER BLOCK-CODES 20
2.9.1 HAMMING-SCHRANKE 20
2.9.2 SINGLETON-SCHRANKE 22
2.9.3 PLOTKIN-SCHRANKE 23
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IMAGE 2
X I V
INHALTSVERZEICHNIS
3 WICHTIGE LINEARE BLOCK-CODES 25
3.1 HAMMING-CODE 25
3.1.1 VERKUERZTER HAMMING-CODE 25
3.1.2 ERWEITERTER HAMMING-CODE 25
3.2 ZYKLISCHER CODE 26
3.3 BCH-CODE 26
3.4 WEITERE CODES 27
3.4.1 PERFEKTER CODE 28
3.4.2 GOLAY-CODE 28
4 HERKOEMMLICHE VERFAHREN ZUR BESTIMMUNG DER RW 31
4.1 DIE GRENZEN DER RECHENGENAUIGKEIT MODERNEN RECHNER 31
4.2 KLASSISCHER ANSATZ 32
4.2.1 DIE SCHRANKEN DER RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT 32
4.2.2 EINE SCHNELLE ABSCHAETZUNG MIT EINEM KORREKTURFAKTOR X 34
4.2.3 DIE BEDEUTUNG DES KORREKTURFAKTORS X UND SEINE BESCHAFFENHEIT 34
4.2.4 PRAKTISCHE BEISPIELE 37
4.3 DUALER CODE 4 1
4.3.1 EINLEITUNG 4 1
4.3.2 EIN PRAKTISCHES BEISPIEL 4 2
4.3.3 DIE GESTALTUNG DES ALGORITHMUS 4 3
4.3.4 DIE BESTIMMUNG DES VERLAUFS DER HAMMING-DISTANZ 44
4.3.5 DIE BESTIMMUNG DER RW BEI EINEM DATENBLOCK 4 4
4.3.6 DIE VOR- BZW. NACHTEILE DES VERFAHRENS 44
4.4 STOCHASTISCHE AUTOMATEN 4 5
4.4.1 DIE DARSTELLUNG DES SCHIEBEREGISTERS MIT EINEM AUTOMATEN 45
4.4.2 DIE BESTIMMUNG DER MATRIZEN MO BZW. M L 48
4.4.3 DER PRAKTISCHE EINSATZ 53
4.4.4 DER STOCHASTISCHE ANSATZ 55
4.4.5 DIE DETERMINISTISCHEN BETRACHTUNGEN 57
4.4.6 WEITERFUHRENDE RECHERCHEN 65
4.4.7 VOR- BZW. NACHTEILE DES VERFAHRENS 65
5 DIE TAYLORREIHE - DEFINITIONEN UND FORMELN 67
5.1 ALTERNIERENDE REIHEN 67
5.1.1 UMHUELLENDE REIHE EINER ZAHL 67
5.1.2 RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT RW 67
5.1.3 TAYLORREIHE EINER FUNKTION F(X) 68
5.1.4 TAYLORPOLYNOME T M (X) 68
5.1.5 TAYLORREIHE EINES POLYNOMS M TEN GRADES .....68
5.1.6 UMHUELLENDE REIHE EINER FUNKTION F(X) 69
5.2 APPROXIMATION DER RW DURCH EINE TAYLORREIHE 69
5.2.1 HYPOTHESE UEBER DEN VERLAUF DER RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT 69
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS X V
5.2.2 ABSCHAETZUNG DER RW(P) I TEN ORDNUNG (DAS ERWEITERTE POLYNOM) 69
5.2.3 DIE TAYLORREIHE DER RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT RW(P) 69
5.2.4 DIE KOEFFIZIENTEN C K EINER TAYLORREIHE DER RW(P) 70
5.3 DIE BEZIEHUNG ZWISCHEN DEM INDEX K UND DEM INDEX N 70
6 SAETZE 71
6.1 CODE WOERTER 71
6.2 EIGENSCHAFTEN DER KOEFFIZIENTEN C K 71
6.3 ALTERNIERENDE REIHEN 74
6.4 GELTUNGSBEREICH DER TAYLORREIHE 79
6.5 ERWEITERUNG DES TAYLORPOLYNOMS T M (P) 80
7 ERGEBNIS 85
7.1 DIE TAYLORREIHE 85
7.2 DIE ERWEITERTEN TAYLORPOLYNOME N TEN GRADES 85
7.3 DIE RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT UND IHRE GENAUIGKEIT 88
7.4 DIE GENAUIGKEIT DER BERECHNUNGEN DER R W 89
8 BEISPIELE 91
8.1 HINWEIS ZUM UMGANG MIT DEN TAYLORPOLYNOMEN 91
8.1.1 TAYLORREIHE VOM TYP A 91
8.1.2 TAYLORREIHE VOM TYP B 92
8.1.3 TAYLORREIHE VOM TYP C 9 2
8.2 ALLGEMEINE BEISPIELE 93
8.2.1 TAYLORREIHE VOM TYP A 93
8.2.2 TAYLORREIHE VOM TYP B 9 4
8.2.3 TAYLORREIHE VOM TYP C 94
8.3 SPEZIELLE BEISPIELE 95
8.4 ERWEITERTE POLYNOME 96
8.5 DER VERGLEICH VON TAYLORPOLYNOMEN MIT ERWEITERTEN POLYNOMEN 98
8.6 UPPER- BZW. LOWER-BOUND DER RESTFEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT 99
9 ALLGEMEINE ANMERKUNGEN 101
9.1 DIE KOEFFIZIENTEN C K D E R POLYNOME VOM T Y P C 101
9.2 DIE KOEFFIZIENTEN C K 101
9.3 DIE UEBERLAGERUNG DER ERWEITERTEN POLYNOME 101
9.4 DIE POLYNOME 102
9.5 EIN ANWENDUNGSBEISPIEL 102
IMAGE 4
XVI
INHALTSVERZEICHNIS
10 VOR- UND NACHTEILE DES VERFAHRENS 103
10.1 VORTEILE 103
10.2 NACHTEILE 104
11 ZUSAMMENFASSUNG 105
12 LITERATUR 109
13 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 111
14 ANHANG 113
14.1 BESTIMMUNG DER KOEFFIZIENTEN C K EINER TAYLORREIHE DER RW(P) 113
14.2 DER NACHWEIS DER UMHUELLENDEN TAYLORREIHE FUER C,* C T+ 1 0 115
14.3 ERWEITERUNG DES SATZES 9 117
14.4 ERWEITERUNG DES SATZES 10 118
15 TABELLEN 119
16 ABBILDUNGEN 125
17 SACHWORTVERZEICHNIS 157
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