Algebra Gruppen - Ringe - Körper
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Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2013
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur dritten Auflage..........................................
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Vorwort zur zweiten Auflage..........................................
v
Vorwort zur ersten Auflage...........................................
v
0 Vorbemerkungen................................................. 1
0.1 Womit befasst sich die Algebra?...................................... 1
0.2 Gruppen, Ringe, Körper............................................. 2
1 Halbgruppen..................................................... 5
1.1 Definitionen....................................................... 5
1.2 Unterhalbgruppen.................................................. 8
1.3 Invertierbare Elemente.............................................. 9
1.4 Allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz........................ 11
1.5 Potenzen und Vielfache............................................. 11
1.6 Homomorphismen, Isomorphismen.................................... 12
1.7 Direkte Produkte................................................... 15
2 Gruppen......................................................... 17
2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen ............................. 17
2.2 Untergruppen...................................................... 21
2.3 Homomorphismen.................................................. 25
3 Untergruppen.................................................... 29
3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen.............................. 29
3.2 Nebenklassen...................................................... 35
3.3 Der Satz von Lagrange.............................................. 38
4 Normalteiler und Faktorgruppen................................. 43
4.1 Normalteiler....................................................... 43
4.2 Normalisatoren .................................................... 46
4.3 Faktorgruppen..................................................... 47
4.4 Der Homomorphiesatz .............................................. 51
4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe *............... 53
4.6 Isomorphiesätze.................................................... 54
5 Zyklische Gruppen............................................... 59
5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen......................... 59
5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen................................. 61
5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie................................... 62
5.4 Die Automorphismengruppen zyklischer Gruppen *..................... 68
6 Direkte Produkte................................................ 71
6.1 Äußere direkte Produkte............................................ 71
6.2 Innere direkte Produkte............................................. 72
6.3 Anwendung in der Zahlentheorie..................................... 75
7 Gruppenoperationen............................................. 83
7.1 Bahnen und Stabilisatoren........................................... 83
7.2 Der Fixpunktsatz .................................................. 87
7.3 Die Klassengleichung ............................................... 89
8 Die Sätze von Sylow............................................. 93
8.1 Der erste Satz von Sylow............................................ 93
8.2 Der zweite Satz von Sylow........................................... 97
8.3 Gruppen kleiner Ordnung........................................... 100
9 Symmetrische und alternierende Gruppen ....................... 105
9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen...................................... 105
9.2 Alternierende Gruppen.............................................. 109
9.3 Einfache Gruppen.................................................. 111
10 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.................. 115
10.1 Der Hauptsatz..................................................... 115
10.2 Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen ........................ 117
10.3 Die zweite Version des Hauptsatzes * ................................. 119
11 Auflösbare Gruppen ............................................. 121
11.1 Normalreihen und Kompositionsreihen................................ 121
11.2 Kommutatorgruppen................................................ 125
11.3 Auflösbare Gruppen................................................ 128
11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen........ 129
11.5 Klassen auflösbarer Gruppen......................................... 131
12 Freie Gruppen * ................................................. 133
12.1 Existenz und Eindeutigkeit freier Gruppen............................. 133
12.2 Definierende Relationen............................................. 142
12.3 Beispiele.......................................................... 145
13 Grundbegriffe der Ringtheorie................................... 149
13.1 Definition und Beispiele............................................. 149
13.2 Teilringe.......................................................... 152
13.3 Die Einheitengruppe................................................ 153
13.4 Homomorphismen.................................................. 154
13.5 Integritätsbereiche.................................................. 156
13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1..................................... 157
13.7 Körper und Schiefkörper ............................................ 158
13.8 Quotientenkörper................................................... 160
14 Polynomringe.................................................... 165
14.1 Motivation ........................................................ 165
14.2 Konstruktion des Ringes
ЩЩ]
....................................... 166
14.3 Polynome in einer Unbestimmten..................................... 168
14.4
Prime
Restklassengruppen *......................................... 177
14.5 Polynome in mehreren Unbestimmten................................. 179
15 Ideale............................................................ 183
15.1 Definitionen und Beispiele........................................... 183
15.2 Erzeugung von Idealen.............................................. 185
15.3 Einfache Ringe..................................................... 186
15.4 Idealoperationen................................................... 188
15.5 Faktorringe........................................................ 189
15.6 Isomorphiesätze.................................................... 190
15.7 Primideale......................................................... 192
15.8 Maximale Ideale.................................................... 194
16 Teilbarkeit in Integritätsbereichen ............................... 199
16.1 Teilbarkeit......................................................... 199
16.2 Idealtheoretische Interpretation...................................... 203
17
Faktorielie
Ringe.................................................205
17.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe................................... 205
17.2 Der nichtfaktorielle Ring
Ц-/Щ
* ................................... 208
18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe ..............................213
18.1 Hauptidealringe.................................................... 213
18.2 Euklidische Ringe.................................................. 215
18.3 Der euklidische Ring Z[i] * ..........................................218
19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe..........223
19.1 Der Satz von Gauß................................................. 223
19.2 Irreduzibilität......................................................227
19.3 Noethersche Ringe *................................................ 231
20 Grundlagen der Körpertheorie................................... 235
20.1 Körpererweiterungen................................................ 235
20.2 Ring- und Körperadjunktion.........................................241
20.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome............................. 242
21 Einfache und algebraische Körpererweiterungen.................. 247
21.1 Einfache Körpererweiterungen ....................................... 247
21.2 Fortsetzung von Isomorphismen auf einfache Erweiterungen.............. 249
21.3 Algebraische Körpererweiterungen.................................... 251
22 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal *..........................257
22.1 Konstruierbarkeit .................................................. 257
22.2 Die drei klassischen Probleme........................................263
23 Transzendente Körpererweiterungen * ...........................265
23.1 Transzendenzbasen................................................. 265
23.2 Der Transzendenzgrad.............................................. 269
24 Algebraischer Abschluss. Zerfallungskörper ......................271
24.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers..............................272
24.2 Zerfällungskörper................................................... 277
24.3 Normale Körpererweiterungen........................................ 282
25
Separable
Körpererweiterungen.................................. 287
25.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln.......................................287
25.2 Separabilität....................................................... 289
25.3 Vollkommene Körper ............................................... 292
25.4 Der Satz vom primitiven Element ....................................293
25.5 Der
separable
Abschluss............................................. 295
26 Endliche Körper .................................................301
26.1 Existenz und Eindeutigkeit.......................................... 301
26.2 Der Verband der Teilkörper..........................................304
26.3 Automorphismen................................................... 305
27 Die Galoiskorrespondenz.........................................307
27.1
.řr-Automorphismen
................................................ 307
27.2 Die allgemeine Galoiskorrespondenz .................................. 311
27.3 Algebraische Galoiserweiterungen..................................... 315
27.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie................................. 317
27.5 Ergänzungen....................................................... 320
28 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung *...........325
28.1 Norm und Spur.................................................... 325
28.2 Hinweise zur Ermittlung des Fixkörpers T(A) ......................... 326
28.3 Hinweise zur Ermittlung von
Γ
— T(L/K)............................. 328
28.4 Beispiele.......................................................... 329
28.5 Die Galoisgruppe eines Polynoms..................................... 330
29 Kreisteilungskörper.............................................. 335
29.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper..................................335
29.2 Kreisteilungspolynome.............................................. 337
29.3 Die Galoisgruppe von
Kn¡K
......................................... 342
29.4 Konstruktion regulärer Vielecke * .................................... 344
30 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.............349
30.1 Zyklische Körpererweiterungen.......................................349
30.2 Auflösbarkeit......................................................354
30.3 Das Auflösbarkeitskriterium.........................................354
31 Die allgemeine Gleichung........................................ 359
31.1 Symmetrische Funktionen........................................... 359
31.2 Das allgemeine Polynom ............................................ 362
31.3 Die
Diskriminante
eines Polynoms * .................................. 364
31.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 *............................... 366
31.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 *............................... 369
A
Hilfsmittel....................................................... 371
A.l Äquivalenzrelationen................................................371
A.2
Transfinite
Beweismethoden......................................... 372
A.3 Kardinalzahlen..................................................... 375
A.4 Zusammenfassung der Axiome.......................................377
Literaturverzeichnis .................................................. 379
Index................................................................. 381
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