Kombinatorische Optimierung Theorie und Algorithmen
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2012
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INHALTSVERZEICHNIS
1. EINFUEHRUNG 1
1.1 ENUMERATION 2
1.2 DIE LAUFZEIT VON ALGORITHMEN 6
1.3 LINEARE OPTIMIERUNGSPROBLEME 9
1.4 SORTIEREN 10
AUFGABEN 12
LITERATUR 13
2 GRAPHEN 15
2.1 GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN 15
2.2 BAEUME, KREISE UND SCHNITTE 19
2.3 ZUSAMMENHANG 28
2.4 EULERSCHE UND BIPARTITE GRAPHEN 35
2.5 PLANARITAET 38
2.6 PLANARE DUALITAET 47
AUFGABEN 5 0
LITERATUR 5 4
3 LINEARE OPTIMIERUNG 57
3.1 POLYEDER 59
3.2 DER SIMPLEXALGORITHMUS 63
3.3 IMPLEMENTIERUNG DES SIMPLEXALGORITHMUS 67
3.4 DUALITAET 7 0
3.5 KONVEXE HUELLEN UND POLYTOPE 7 4
AUFGABEN 7 6
LITERATUR 79
4 ALGORITHMEN FUER LINEARE OPTIMIERUNG 81
4.1 DIE GROESSE VON ECKEN UND SEITENFLAECHEN 82
4.2 KETTENBRUECHE 84
4.3 GAUSS-ELIMINATION 87
XIX
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IMAGE 2
X X
INHALTSVERZEICHNIS
4.4 DIE ELLIPSOIDMETHODE 91
4.5 DER SATZ VON KHACHIYAN 97
4.6 SEPARATION UND OPTIMIERUNG 99
AUFGABEN 106
LITERATUR 108
5 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG 111
5.1 DIE GANZZAHLIGE HUELLE EINES POLYEDERS 113
5.2 UNIMODULARE TRANSFORMATIONEN 118
5.3 VOLLSTAENDIGE DUALE GANZZAHLIGKEIT (TDI) 119
5.4 VOLLSTAENDIG-UNIMODULARE MATRIZEN 123
5.5 SCHNITTEBENEN 129
5.6 LAGRANGE-RELAXIERUNG 133
AUFGABEN 135
LITERATUR 139
6 AUFSPANNENDE BAEUME UND ARBORESZENZEN 143
6.1 AUFSPANNENDE BAEUME MIT MINIMALEM GEWICHT 144
6.2 ARBORESZENZEN MIT MINIMALEM GEWICHT 151
6.3 POLYEDRISCHE DARSTELLUNGEN 155
6.4 DAS PACKEN VON AUFSPANNENDEN BAEUMEN UND ARBORESZENZEN 158 AUFGABEN
162
LITERATUR 167
7 KUERZESTE WEGE 171
7.1 KUERZESTE WEGE VON EINER QUELLE AUS 172
7.2 KUERZESTE WEGE ZWISCHEN ALLEN KNOTENPAAREN 177
7.3 KREISE MIT MINIMALEM DURCHSCHNITTLICHEN KANTENGEWICHT 180 AUFGABEN
182
LITERATUR 185
8 NETZ WERKFLUESSE 187
8.1 DAS MAX-FLOW-MIN-CUT-THEOREM 188
8.2 DER SATZ VON MENGER 192
8.3 DER EDMONDS-KARP-ALGORITHMUS 195
8.4 DINIC , KARZANOVS, UND FUJISHIGES ALGORITHMUS 197
8.5 DER GOLDBERG-TARJAN-ALGORITHMUS 201
8.6 GOMORY-HU-BAEUME 206
8.7 DIE MINIMALE KAPAZITAET EINES SCHNITTES IN EINEM UNGERICHTETEN
GRAPHEN 213
AUFGABEN 215
LITERATUR 223
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS X X I
9 FLUESSE MIT MINIMALEN KOSTEN 227
9.1 FORMULIERUNG DES PROBLEMS 227
9.2 EIN OPTIMALITAETSKRITERIUM 230
9.3 DER MINIMUM-MEAN-CYCLE-CANCELLING-ALGORITHMUS 232
9.4 DER SUKZESSIVE-KUERZESTE-WEGE-ALGORITHMUS 236
9.5 ORLINS ALGORITHMUS 240
9.6 DER NETZWERK-SIMPLEXALGORITHMUS 245
9.7 ZEITABHAENGIGE FLUESSE 249
AUFGABEN 251
LITERATUR 255
10 KARDINALITAETSMAXIMALE MATCHINGS 257
10.1 BIPARTITE MATCHINGS 258
10.2 DIE TUTTE-MATRIX 260
10.3 DER SATZ VON TUTTE 262
10.4 OHRENZERLEGUNGEN FAKTORKRITISCHER GRAPHEN 265
10.5 EDMONDS MATCHING-ALGORITHMUS 272
AUFGABEN 282
LITERATUR 287
11 GEWICHTETE MATCHINGS 291
11.1 DAS ZUORDNUNGSPROBLEM 292
11.2 ABRISS DES GEWICHTETEN MATCHING-ALGORITHMUS 294
11.3 IMPLEMENTIERUNG DES GEWICHTETEN MATCHING-ALGORITHMUS 297 11.4
POSTOPTIMIERUNG 311
11.5 DAS MATCHING-POLYTOP 312
AUFGABEN 316
LITERATUR 318
12 A-MATCHINGS UND T-JOINS 321
12.1 FO-MATCHINGS 321
12.2 T-JOINS MIT MINIMALEM GEWICHT 325
12.3 T-JOINS UND T-SCHNITTE 330
12.4 DER SATZ VON PADBERG UND RAO 334
AUFGABEN 337
LITERATUR 341
13 MATROIDE 343
13.1 UNABHAENGIGKEITSSYSTEME UND MATROIDE 343
13.2 ANDERE MATROIDAXIOME 348
13.3 DUALITAET 352
13.4 DER GREEDY-ALGORITHMUS 356
13.5 DER SCHNITT VON MATROIDEN 362
13.6 MATROID-PARTITIONIERUNG 366
13.7 GEWICHTETER SCHNITT VON MATROIDEN 368
AUFGABEN 373
LITERATUR 376
IMAGE 4
XXII
INHALTSVERZEICHNIS
14 VERALLGEMEINERUNGEN VON MATROIDEN 379
14.1 GREEDOIDE 379
14.2 POLYMATROIDE 383
14.3 DIE MINIMIERUNG SUBMODULARER FUNKTIONEN 388
14.4 SCHRIJVERS ALGORITHMUS 390
14.5 SYMMETRISCHE SUBMODULARE FUNKTIONEN 394
AUFGABEN 396
LITERATUR 399
15 NP- VOLLSTAENDIGKEIT 403
15.1 TURINGMASCHINEN 404
15.2 DIE CHURCH SCHE THESE 406
15.3 P UND N P 412
15.4 DER SATZ VON COOK 416
15.5 EINIGE GRUNDLEGENDE NP- VOLLSTAENDIGE PROBLEME 420
15.6 DIE KLASSE CONP 427
15.7 A^-SCHWERE PROBLEME 430
AUFGABEN 434
LITERATUR 439
16 APPROXIMATIONSALGORITHMEN 441
16.1 DAS SET-COVERING-PROBLEM 442
16.2 DAS MAX-CUT-PROBLEM 447
16.3 FAERBUNG 454
16.4 APPROXIMATIONSSCHEMATA 462
16.5 MAXIMUM-SATISFIABILITY 465
16.6 DER PCP-SATZ 470
16.7 L-REDUKTIONEN 475
AUFGABEN 481
LITERATUR 485
17 DAS KNAPSACK-PROBLEM 489
17.1 DAS GEBROCHENE KNAPSACK-PROBLEM UND DAS GEWICHTETE MEDIAN-PROBLEM
489
17.2 EIN PSEUDOPOLYNOMIELLER ALGORITHMUS 492
17.3 EIN VOLL-POLYNOMIELLES APPROXIMATIONSSCHEMA 494
17.4 DAS MULTIDIMENSIONALE KNAPSACK-PROBLEM 497
AUFGABEN * . 499
LITERATUR 500
18 BIN-PACKING 503
18.1 GREEDY-HEURISTIKEN 504
18.2 EIN ASYMPTOTISCHES APPROXIMATIONSSCHEMA 509
18.3 DER KARMARKAR-KARP-ALGORITHMUS 513
AUFGABEN 517
LITERATUR 519
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XXIII
19 MEHRGUETERFLUESSE UND KANTENDISJUNKTE WEGE 521
19.1 MEHRGUETERFLUESSE 522
19.2 ALGORITHMEN FUER MEHRGUETERFLUESSE 527
19.3 DAS SPARSEST-CUT-PROBLEM UND DER MAX-FLOW-MIN-CUT-QUOTIENT.. 531
19.4 DER SATZ VON LEIGHTON UND RAO 533
19.5 DAS GERICHTETE KANTENDISJUNKTE-WEGE-PROBLEM 536
19.6 DAS UNGERICHTETE KANTENDISJUNKTE-WEGE-PROBLEM 540
AUFGABEN 547
LITERATUR 552
20 NETZWERK-DESIGN-PROBLEME 555
20.1 STEINERBAEUME 556
20.2 DERROBINS-ZELIKOVSKY-ALGORITHMUS 561
20.3 SURVIVABLE-NETWORK-DESIGN 568
20.4 EIN PRIMAL-DUALER APPROXIMATIONSALGORITHMUS 571
20.5 JAINS ALGORITHMUS 580
AUFGABEN 586
LITERATUR 589
21 DAS TRAVELING-SALESMAN-PROBLEM 593
21.1 APPROXIMATIONSALGORITHMEN FUER DAS TSP 593
21.2 DAS EUKLIDISCHE TSP 598
21.3 LOKALE SUCHE 606
21.4 DAS TRAVELING-SALESMAN-POLYTOP 613
21.5 UNTERESCHRANKEN 619
21.6 BRANCH-AND-BOUND 622
AUFGABEN 625
LITERATUR 628
22 STANDORTPROBLEME 633
22.1 DAS UNBESCHRAENKTE STANDORTPROBLEM 633
22.2 RUNDUNG VON LP-LOESUNGEN 636
22.3 PRIMAL-DUALE ALGORITHMEN 637
22.4 SKALIERUNG UND GREEDY-AUGMENTIERUNG 643
22.5 BESCHRAENKUNG DER STANDORTANZAHL 646
22.6 LOKALE SUCHE 650
22.7 BESCHRAENKTE,STANDORTPROBLEME 656
22.8 DAS UNIVERSELLE STANDORTPROBLEM 659
AUFGABEN 667
LITERATUR 669
SYMBOL VERZEICHNIS 673
PERSONENVERZEICHNIS 677
SACHVERZEICHNIS 687
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