Elementare Tetraedergeometrie eine Einführung in die Raumgeometrie
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Hildesheim [u.a.]
Franzbecker
2011
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HEINZ SCHUMANN
ELEMENTARE TETRAEDERGEOMETRIE
EINE EINFUEHRUNG IN DIE RAUMGEOMETRIE 0. EINLEITUNG 1
1. BESONDERE TETRAEDER 11
1.1. DAS GLEICHKANTIGE ODER REGELMAESSIGE TETRAEDER 13
1.1.1. KONSTRUKTIONEN DES REGELMAESSIGEN TETRAEDERS 13
1.1.2. DECKABBILDUNGEN DES REGELMAESSIGEN TETRAEDERS 17
1.1.3. BESONDERE GERADEN UND PUNKTE DES REGELMAESSIGEN TETRAEDERS 19
1.1.4. BERECHNUNGEN AM REGELMAESSIGEN TETRAEDER 20
1.1.5. SAETZE UEBER DAS REGELMAESSIGE TETRAEDER 22
1.1.6. LUECKENHAFTE RAUMFUELLUNG MIT REGELMAESSIGEN TETRAEDERN 26
1.2. GLEICHSEITIGE TETRAEDER 29
1.2.1. EINE ERSTE KONSTRUKTION GLEICHSEITIGER TETRAEDER UND ERSTE
AUSSAGEN 29 1.2.2. EINE ZWEITE KONSTRUKTION GLEICHSEITIGER TETRAEDER UND
WEITERE AUSSAGEN.. 38 1.2.3. EINIGE WEITERE KENNZEICHNUNGEN
GLEICHSEITIGER TETRAEDER 43 1.2.4. BERECHNUNGEN AM GLEICHSEITIGEN
TETRAEDER 46
1.2.5. DIE BESONDEREN KUGELN GLEICHSEITIGER TETRAEDER 48
1.2.6. DAS HOEHEN-HYPERBOLOID GLEICHSEITIGER TETRAEDER 48
1.3. RECHTWINKLIGE TETRAEDER 63
1.3.1. KONSTRUKTIONEN RECHTWINKLIGER TETRAEDER 63
1.3.2. BERECHNUNGEN AN RECHTWINKLIGEN TETRAEDERN 69
1.3.3. RAEUMLICHE ANALOGISIERUNG DES PYTHAGORAS-SATZES 74
1.3.4. TETRAEDER MIT *PYTHAGORAS-EIGENSCHAFT 79
1.3.5. EINIGE UNGLEICHUNGEN AN RECHTWINKLIGEN TETRAEDERN 87
1.4. *RECHTECKIGE TETRAEDER 91
1.4.1. EXISTENZ UND EIGENSCHAFTEN RECHTECKIGER TETRAEDER 91
1.4.2. WEITERE KONSTRUKTIONEN RECHTECKIGER TETRAEDER 93
1.4.3. BERECHNUNGEN AM RECHTECKIGEN TETRAEDER 94
1.4.4. SYMMETRISCHE RECHTECKIGE TETRAEDER 99
2. DAS ALLGEMEINE TETRAEDER 101
2.1. TETRAEDER-KLASSIFIKATIONEN 103
2.1.1. KLASSIFIKATION NACH SYMMETRIE-EIGENSCHAFTEN 103
2.1.2. KLASSIFIKATION NACH KANTENGLEICHHEIT 121
2.1.3. KLASSIFIKATION NACH INNENWINKELN DER SEITENDREIECKE 125
2.1.4. KLASSIFIKATION NACH WINKELN ZWISCHEN ZWEI SEITENDREIECKEN 130
2.1.5. ABSCHLIESSENDE BEMERKUNG ZU DEN KLASSIFIKATIONEN NACH WINKELN 136
2.2. WINKELMESSUNGEN AM TETRAEDER 139
2.2.1. DIE SUMME DER KANTENWINKEL EINES TETRAEDERS 139
2.2.2. ABSCHAETZUNG DER FLAECHENWINKEL-SUMME EINES TETRAEDERS 139 2.2.3.
ABSCHAETZUNG DER RAUMWINKEL-SUMME EINES TETRAEDERS 143
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1013110692
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
2.3. TETRAEDERKONSTRUKTIONEN 149
2.3.1. TETRAEDERKONSTRUKTIONEN AUS SEITENDREIECKEN UND FLAECHENWINKELN
149 2.3.2. KONGRUENZSAETZE FUER TETRAEDER MITTELS SEITENDREIECKEN UND
FLAECHENWINKEL 155 2.3.3. TETRAEDERKONSTRUKTIONEN AUS KANTEN UND
KANTENWINKELN 156 2.3.4. KONSTRUKTIONEN AEHNLICHER TETRAEDER AUS
KANTENWINKELN 160 2.3.5. AEHNLICHKEITSSAETZE UEBER TETRAEDER MITTELS
FLAECHEN- UND KANTENWINKEL 166
2.4. DIE UMKUGEL DES TETRAEDERS 169
2.4.1. DIE MITTELSENKRECHTE EINER DREIECKSFLAECHE 169
2.4.2. KONSTRUKTION DER UMKUGEL DES TETRAEDERS 171
2.4.3. ZUR LAGE DES UMKUGELMITTELPUNKTS 173
2.4.4. DER UMKUGELRADIUS ALS TERM AUS DEN KANTENLAENGEN 175
2.4.5. EINE ANALYTISCHE BERECHNUNG DER LAGE DES UMKUGELMITTELPUNKTS 183
2.5. DIE INKUGEL DES TETRAEDERS 187
2.5.1. ABSTANDSGLEICHE HALBEBENEN 187
2.5.2. KANTEN-UND FLAECHENABSTANDSGLEICHE EINER DREIKANTIGEN ECKE 188
2.5.3. KONSTRUKTION DER INKUGEL DES TETRAEDERS 192
2.5.4. ANALOGIEN ZWISCHEN UM- UND INKREISEN UND UM- UND INKUGELN 195
2.5.5. DER INKUGELRADIUS DES TETRAEDERS 198
2.5.6. EINE BEZIEHUNG ZWISCHEN IN- UND UMKUGELRADIUS DES TETRAEDERS 198
2.5.7. TETRAEDER-TEILUNG DURCH FLAECHENABSTANDSGLEICHE UND FLAECHENWINKEL-
HALBIERENDE 199
2.5.8. EINE ANALYTISCHE BERECHNUNG DER LAGE DES INKUGELMITTELPUNKTS 201
2.5.9. EIN SATZ UEBER DIE WINKEL AN DEN INKUGEL-BERUEHRPUNKTEN 202
2.6. DIE FLAECHENBERUEHRENDEN KUGELN DES TETRAEDERS 205
2.6.1. DIE RAUMTEILUNG MITTELS EINES TETRAEDERS 205
2.6.2. DIE FLAECHENBERUEHRENDEN KUGELN UND IHRE RADIENBEZIEHUNGEN 206
2.6.3. ZUSAMMENFASSUNG UEBER DIE FLAECHENBERUEHRENDEN KUGELN 216
2.7. DER SCHWERPUNKT DES TETRAEDERS 217
2.7.1. KONSTRUKTION DES TETRAEDER-SCHWERPUNKTS 217
2.7.2. VEKTORIELLE BERECHNUNG DES SCHWERPUNKTS 219
2.7.3. DAS SCHWERPUNKTETETRAEDER 221
2.7.4. DIE SCHWERPUNKTEKUGEL 222
2.7.5. DIE MITTENPARALLELOGRAMME UND DAS MITTENOKTAEDER 223
2.7.6. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN KANTEN EINES TETRAEDERS UND SEINEN
SCHWER- LINIEN 226
2.8. DIE PHYSIKALISCHEN SCHWERPUNKTE DES TETRAEDERS 229
2.8.1. DIE PHYSIKALISCHEN SCHWERPUNKTE DES DREIECKS 231
2.8.2. DER ECKEN-UND DER VOLUMENSCHWERPUNKT DES TETRAEDERS 234 2.8.3.
DER FLAECHENSCHWERPUNKT DES TETRAEDERS 236
2.8.4. DER KANTENSCHWERPUNKT DES TETRAEDERS 240
2.8.5. VEKTORIELLE KONSTRUKTION DER PHYSIKALISCHEN SCHWERPUNKTE 243
2.9. DIE HOEHEN DES TETRAEDERS 247
2.9.1. AUSSAGEN UEBER DIE TETRAEDERHOEHEN 247
2.9.2. DER PUNKT VON MONGE 254
IV
IMAGE 3
2.9.3. DAS HOEHEN-HYPERBOLOID DES TETRAEDERS 259
2.10. BERECHNUNGEN AM TETRAEDER 263
2.10.1. DIE STANDARD-VOLUMENFORMEL DES TETRAEDERS 263
2.10.2. WEITERE VOLUMENFORMELN DES TETRAEDERS 268
2.10.3. SINUSSAETZE AM TETRAEDER 279
2.10.4. KOSINUSSAETZE AM TETRAEDER 281
2.10.5. EINIGE VEKTORIELLE BERECHNUNGSERGEBNISSE AM TETRAEDER 289
2.11. UNGLEICHUNGEN AM TETRAEDER 291
2.11.1. VON DER DREIECKSUNGLEICHUNG ZU TETRAEDERUNGLEICHUNGEN 291
2.11.2. EXISTENZAUSSAGEN FUER TETRAEDER : 296
2.11.3. ANWENDUNG VON STANDARD-UNGLEICHUNGEN 302
2.12. DIE SAETZE VON MENELAOS UND CEVA 303
2.12.1. DER SATZ VON MENELAOS FUER DREIECKE UND FUER TETRAEDER 303 2.12.2.
DER SATZ VON CEVA FUER DREIECKE UND FUER TETRAEDER 307
2.12.3. EINE ANWENDUNG DES SATZES VON CEVA AUF DREIECKE UND AUF
TETRAEDER 314
2.13. VERSCHIEDENES 323
2.13.1. EBENE TETRAEDERSCHNITTE 323
2.13.2. MINIMIERUNG DER TETRAEDEROBERFLAECHE 337
2.13.3. DER LOTE-SATZ VON JACOB STEINER 350
2.13.4. SATZ VON MIQUEL 360
2.13.5. DER SATZ VON DESARGUES 366
3. BESONDERE TETRAEDER (FORTSETZUNG) 373
3.1. TETRAEDER MIT HOEHENSCHNITTPUNKT (ORTHOZENTRISCHE TETRAEDER) 375
3.1.1. EINFACHE KONSTRUKTIONEN ORTHOZENTRISCHER TETRAEDER 375
3.1.2. LAGE DES HOEHENSCHNITTPUNKTS 376
3.1.3. WEITERE AUSSAGEN UEBER ORTHOZENTRISCHE TETRAEDER 377
3.1.4. DIE ZWOELFPUNKTEKUGELN 379
3.1.5. EINIGE BERECHNUNGEN AN ORTHOZENTRISCHEN TETRAEDERN 388
3.2. TETRAEDER MIT KANTENBERUEHRENDER KUGEL 395
3.2.1. NOTWENDIGE BEDINGUNGEN FUER TETRAEDER MIT KANTENKUGEL-EIGENSCHAFT
395 3.2.2. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER EIN TETRAEDER MIT
KANTENKUGEL-EIGENSCHAFT 396 3.2.3. KONSTRUKTION EINES TETRAEDERS ZU
VORGEGEBENER KANTENKUGEL 402
3.2.4. FLAECHENWINKEL-KENNZEICHNUNG DES TETRAEDERS MIT KANTENKUGEL 404
3.2.5. FORMEL FUER DEN RADIUS DER KANTENKUGEL 406
3.2.6. BEZIEHUNG DES TETRAEDERS MIT KANTENKUGEL ZU DEN ORTHOZENTRISCHEN
UND GLEICHSEITIGEN TETRAEDERN 409
3.3. TETRAEDER MIT GLEICHEN GEGENKANTENPRODUKTEN (ISODYNAMISCHE
TETRAEDER) 411
3.3.1. EINE KONSTRUKTION ISODYNAMISCHER TETRAEDER 411
3.3.2. BEZIEHUNG ISODYNAMISCHER TETRAEDER ZU ANDEREN TETRAEDERTYPEN 411
3.3.3. KENNZEICHNUNGEN ISODYNAMISCHER TETRAEDER 412
3.3.4. DIE LEMOINE-KREISE UND DIE LEMOINE-KUGELN 415
QUELLENVERZEICHNIS 419
V
IMAGE 4
ANHANG 435
A1 RAUMGEOMETRISCHE BASISBEGRIFFE UND -AUSSAGEN 437
A2 GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN IM RAUM 449
ANLAGE: CD MIT BUCH ALS HYPERTEXT, CABRI 3D-DEMO-VERSION UND HANDBUCH
HINWEISE ZUR INSTALLATION UND BENUTZUNG IN DER LIESMICH-DATEI AUF DER CD
VI
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