Elementare Zahlentheorie
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| Veröffentlicht: |
Heidelberg [u.a.]
Spektrum, Akad. Verl.
2009
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| Ausgabe: | Nachdr. der 3. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik Primar- und Sekundarstufe
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Einleitung 1
I
Vier motivierende Probleme - ein Schnupperkurs 5
1 Sicherheit in der Apotheke ...................... 5
2 Verblüffende Summendarstellungen.................. 9
3 Ein ungelöstes Problem........................ 13
4 Primzahlen - eine überraschende Entdeckung............ 15
5 Einige weitere Problemstellungen................... 17
II
Teilbarkeitsrelation 21
1 Definition................................ 21
2 Eigenschaften.............................. 24
3 Teilermengen.............................. 27
4 Die Teilbarkeitsrelation als Ordnungsrelation/Hassediagramme . . 29
5 Übungsaufgaben............................ 31
III
Primzahlen 33
1 Primzahlen - unterschiedliche Gesichter............... 33
2 Primzahlen - Anzahl.......................... 35
3 Jagd nach Primzahlrekorden ..................... 39
4 Sieb des
Eratosthenes
......................... 41
5 Primzahlzwillinge und Primzahllücken................ 46
6 Primzahlsatz.............................. 50
7 Primzahlformeln............................ 50
8 Einige offene Primzahlprobleme.................... 53
9 Übungsaufgaben............................ 54
IV
Primzahlen - Bausteine der natürlichen Zahlen 59
1 Problematisierung........................... 59
2 Existenz................................. 61
3 Eindeutigkeit/Hauptsatz........................ 63
4 Folgerungen............................... 66
4.1 Teilermengen........................... 66
4.2 Typisierung von Hassediagrammen............... 67
4.3 Primzahlkriterium/Lemma von Euklid............. 70
5 Übungsaufgaben............................ 71
V ggT
und kgV 75
1
ggT
und Teilermengen......................... 76
2
ggT
und Primfaktorzerlegung..................... 79
3 ggT und Euklidischer Algorithmus.................. 81
3.1 Division mit Rest......................... 82
3.2 Euklidischer Algorithmus .................... 83
4 Vielfachenmenge des ggT (a.b) und Linearkombinationen...... 87
5 Lineare diophantische Gleichungen.................. 90
6 kgV und Vielfachenmengen...................... 92
7 kgV und Primfaktorzerlegung..................... 96
8 Zusammenhang zwischen ggT (a.b) und kgV (a,b) ......... 98
9 Hassediagramme und ggT- bzw. kgV-Bestimmung ......... 99
10 Übungsaufgaben............................ 103
VI
Kongruenzen/Restklassen 109
1 Kongruenzrelation - verschiedene Einführungswege.........109
2 Eigenschaften..............................113
2.1 Rechnen mit Kongruenzen....................113
2.2 Äquivalenzrelation........................116
3 Restklassen...............................117
3.1 Restklassenmengen Rm .....................117
3.2 Rechnen mit Restklassen.....................120
3.3 Algebraische Strukturen der
Restklassenmengen Rm .....................123
4 Sätze von Euler und
Fermat
......................129
5 Chinesischer Restsatz .........................131
6 Die
Fermaťsche
Vermutung - eine abenteuerliche Geschichte . . . 135
7 Übungsaufgaben............................137
VII
Stellenwertsysteme/Schriftliche Rechenverfahren 141
1 Bündelung und Stellenwert......................141
1.1 Ein kurzer Blick in die Geschichte................141
1.2 Die römische Zahlschrift.....................142
1.3 Das dezimale Stellenwertsystem.................143
1.4 Nichtdezimale Stellenwertsystcme................143
2 Zählen und Größenvergleich......................147
3 Übersetzungen.............................149
4 Schriftliche Rechenverfahren......................150
4.1 Addition..............................151
4.2 Subtraktion............................152
4.3 Multiplikation...........................153
4.4 Division..............................155
5 Übungsaufgaben............................156
VIII Teilbarkeitsregeln/Rechenproben 161
1 Grundlagen............................... 161
2 Endstellenregeln............................ 162
2.1 Endstellenregeln erster Ordnung ................ 162
2.1.1 Dezimales Stellenwertsystem............... 162
2.1.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme............ 164
2.2 Endstellenregeln zweiter Ordnung................ 165
2.2.1 Dezimales Stellenwertsystem............... 165
2.2.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme............ 166
2.2.3 Mögliche Vereinfachung von Teilbarkeitsrcgeln..... 167
2.3 Endstellenregeln dritter Ordnung................ 168
2.3.1 Dezimales Stellenwertsystem............... 168
2.3.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme............ 169
3 Quersummenregeln........................... 169
3.1 Dezimales Stellenwertsystem................... 169
3.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme................ 171
4 Alternierende Quersummenregeln................... 173
4.1 Dezimales Stellenwertsytem................... 173
4.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme................ 175
5 Teilbarkeitsregeln in Stellenwertsystemen -
Zusammenfassung und Konsequenzen ................ 175
6 Vorteile unseres Zugangsweges zu Teilbarkeitsregeln......... 177
7 Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen.............. 178
7.1 Teilbarkeitsregel für 7...................... 178
7.2 Teilbarkeitsregel für 11...................... 180
7.3 Verallgemeinerung........................ 181
8 Rechenproben ............................. 182
9 Übungsaufgaben............................ 186
IX
Dezimalbrüche/Systembrüche/
Kettenbrüche 191
1 Umformung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche...........192
2 Endliche Dezimalbrüche........................19?
3 Reinperiodische Dezimalbrüche/Periodenlänge............200
4 Gemischtperiodische Dezimalbrüche .................207
5 Verallgemeinerungen..........................209
6 Kettenbrüche..............................215
7 Übungsaufgaben............................219
X
Vollkommene Zahlen/Fibonacci-Zahlen 221
1 Vollkommene Zahlen..........................221
2 Fibonacci-Zahlen............................227
3 Übungsaufgaben............................234
XI
Rationalisierung und Sicherheit im Handel 235
1 Europäische Artikelnummer
ΕΑΝ
...................235
1.1 Aufbau und Zielsetzung.....................235
1.2 EAN-Prüfziffer..........................237
1.3 Sicherheit des EAN-Prüfziffernsystems.............239
1.3.1 Eingabe einer falschen Ziffer...............240
1.3.2 Eingabe zweier falscher Ziffern..............241
1.3.3 Vertauschung zweier Nachbarziffern (Drehfehler) .... 242
1.3.4 Drehfehler nicht benachbarter Ziffern..........244
1.3.5 Vertauschung zweier unmittelbar benachbarter
Zweierblöcke........................245
1.3.6 Strichcode der
ΕΑΝ
....................245
1.3.7 Zusammenfassung.....................245
2 Internationale Standardbuchnummer ISBN .............246
2.1 Aufbau und Zielsetzung.....................247
2.2 ISBN-Prüfziffer..........................248
2.3 Sicherheit des ISBN-Prüfziffernverfahrens ...........249
2.3.1 Eingabe einer falschen Ziffer...............249
2.3.2 Eingabe zweier falscher Ziffern..............250
2.3.3 Vertauschung zweier Ziffern (Drehfehler) ........251
2.3.4 Vertauschung zweier unmittelbar benachbarter
Zweierblöcke........................252
2.3.5 Zusammenfassung.....................252
2.4 ISBN-13..............................253
3 Pharmazentralnummer PZN bei Arzneimitteln ...........254
4 Übungsaufgaben............................255
XII Kryptographie 259
1 Vorbemerkungen............................259
2 Cäsars Codierung/Monoalphabetische Substitution.........259
3 Polyalphabetische Substitution....................262
4 RSA- Verschlüsselungssystem .....................264
4.1
RSA-Algorithmus
.........................265
4.2 Authentizität...........................267
4.3 Sicherheit.............................268
4.4 Realitätsiiahes Beispiel......................270
4.5 Ausblick..............................274
5 Übungsaufgaben......................... 01
Z i í
Lösungshinweise zu den Aufgaben 279
Literaturverzeichnis 293
Symbolverzeichnis 299
Index 301
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