Ebene Geometrie
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| Ausgabe: | 3., neu bearb. und erw. Aufl., korr. Nachdr. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Prolog. Die Elemente des Euklid ................................. 1
1. Euklid 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie
Kapitel
I.
Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie .......... 5
Einleitung ......................................................... 5
§1. Affine Ebenen ................................................ 7
1. Inzidenz-Axiome 2. Richtungen 3. Ordnung 4. Beispiele 5. Affine Isomor¬
phismen 6*. Über das Parallelen-Axiom von Euklid bis
Gauss
§2. Translationsebenen ........................................... 16
1. Dilatationen 2. Fixgeraden 3. Translationen 4.
Translations-
Axiom 5.
Ρ
als additive Gruppe 6. Multiplikatoren-Schiefkörper 7. Beschreibung der
Dilatationen 8. Automorphismen
§3. Affine Koordinatenebenen .................................... 30
1. Satz von
DESARGUES
2. DESARGUES-Ebenen 3. Affine Koordinatenebe-
nen 4. Koordinatenebenen als DESARGUES-Ebenen 5*. Ausblicke
§4. PAPPUS-Ebenen .............................................. 38
1. Satz von
Pappus
2. Dreimal
Pappus
ist
Desargues
3. Äquivalenzsatz
4. Satz von Wedderburn
§5. Euklidische Ebenen ........................................... 42
1. Einleitung 2. Normierte Gruppen 3. Metrische Translationsebenen 4. Eu¬
klidische Ebenen 5. Hauptsatz für euklidische Ebenen
Kapitel
II.
Affine Geometrie in Koordinatenebenen................. 51
Einleitung ......................................................... 51
§1. Schnittpunkte von Geraden ................................... 52
1. Erinnerung an die Lineare Algebra 2. Determinantenfunktion 3. Geraden
4. Schnittpunkte 5. Die affine Gruppe 6. Die alternierende Funktion [x, y, z]
7. Geometrische Interpretation der Addition
§2. Erste Schnittpunktsätze ...................................... 63
1. Strahlensätze 2. Satz von
Desargues
3. Satz von
Pappus
4, Satz von
Pascal 5*. Vollständiges Vierseit 6*. Allgemeiner Satz von
DESARGUES
§3. Anfänge einer Dreiecks-Geometrie ............................ 71
1. Dreiecke 2. Schwerpunktsatz 3*. Schwerpunkt von endlich vielen Punkten
4*. Das
Analógon
eines Flächenmaßes
§4*. Dreieckskoordinaten .......................................... 75
1.
Definition
2. Geradengleichung 3. Parabel durch drei Punkte
§5. Die Sätze von Menelaos und
Ceva
......................... 78
1. Ein Geradenmaß 2. Regula sex quantitatum 3. Historisches 4*. Ein Pro¬
dukt auf den Geraden
§6*. Das Doppelverhältnis ......................................... 83
1*. Definition 2*. Harmonische Punkte
§7*. BROCARDsche Punkte ........................................ 86
1*. Eine quadratische Form 2*. Der Ansatz von
Brocard
3*. Eine Verall¬
gemeinerung 4*. Analoge Punkte
Kapitel
III.
Analytische Geometrie in der euklidischen Ebene........ 91
Einleitung .......................................................... 91
Gültigkeitsbereich* ................................................. 92
§1. Die reelle euklidische Ebene .................................. 93
1. Das Skalarprodukt 2. Die Abbildung
χ ι—» χ1-
3. Der Zusammenhang zwi¬
schen [x,y] und (x,y) 4. Betrag und Abstand 5. Winkel 6. Die orthogonale
Gruppe 7. Die Bewegungen der Ebene 8. Kongruenz und Ähnlichkeit 9*.
Bewegungsinvarianten
§2. Das Dreieck .................................................. 108
Einleitung 1. Erste metrische Sätze 2. Geradengleichung 3. Abstand eines
Punktes von einer Geraden 4. Mittelsenkrechte im Dreieck 5. Höhen im
Dreieck 6. Halbebenen 7. Winkelhalbierende 8. Rechtwinklige Dreiecke 9*.
Orientierte Flächen
§3. Trigonometrie ................................................ 125
1. Kongruenz-Sätze 2. Formel von
Heron
3. Tangens-Satz 4. Relationen
zwischen den Winkeln 5. Abstände zwischen vier Punkten 6*. Der Satz von
Morley 7*. Der Satz von Connes
§4. Geometrie und Arithmetik .................................... 135
1. Pythagoräische Tripel 2. Die rationalen Punkte des Einheitskreises 3.
Heronische Dreiecke 4. Satz von Pick
Kapitel
IV.
Das Dreieck und seine Kreise ........................... 143
Einleitung .......................................................... 143
§1. Der Kreis .................................................... 143
1. Mittelpunktsgleichung 2. Tangente 3. Kreis und Gerade 4. Polare 5*. Meh¬
rere Kreise 6*. Satz von Bodenmiller 7*. Die Stereographische Projektion
8*. Inversion am Kreis
§2. Der Umkreis eines Dreiecks ................................... 159
1. Existenzsatz 2. Peripheriewinkel 3. EULER-Gerade 4. FEUERBACH-Kreis
5*. Mittendreieck 6*. Höhenfußpunkt-Dreieck 7*. WALLACE-Gerade
§3*. Vier Punkte auf einem Kreis .................................. 173
1*. Vierecke 2*. Sehnenvierecke 3*. Satz von Ptolemaeus 4*. Satz von
MlQUEL
§4. Die Berührkreise eines Dreiecks ............................... 177
Einleitung 1. Mittelpunkte und Radien 2. Satz von
Leibniz
3. Folgerungen
4. Satz von Feuerbach
§5*. Die komplexe Zahlenebene .................................... 185
1*. Die komplexen Zahlen als euklidische Ebene. 2*. Das komplexe Dop¬
pelverhältnis 3*. Der Satz von MlQUEL 4*. Die BROCARDschen Punkte 5*.
Anwendungen
Kapitel
V.
Kegelschnitte ............................................ 197
Einleitung .......................................................... 197
§1. Ellipsen und Hyperbeln....................................... 198
1. Ellipse 2. Hyperbel 3. Gemeinsame Beschreibung 4. Hauptachsentrans¬
formation 5. Tangenten 6. Brennpunkt-Tangenten-Abstand 7. Einhüllende
Tangentenschar 8. Asymptoten einer Hyperbel 9*. Beschreibung durch Krei¬
se
§2. Die Parabel .................................................. 213
1. Definition 2. Tangenten 3. Brennpunkt-Tangenten-Abstand
§3. Die allgemeine Kurve zweiten Grades ......................... 218
1. Vorbemerkungen 2. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades 3. Normal¬
form 4. Klassifikation der Kurven zweiten Grades 5. Affine Normalformen
6. Kurven zweiten Grades als Kegelschnitte 7. Infinitesimale Beschreibung
einer Tangente
§4. Scheitel- und Brennpunktgleichung ........................... 226
1. Kurven mit Leitlinien 2. Scheitelgleichung 3. Zusammenhang zwischen
Scheitelgleichung und Mittelpunktsgleichung 4. Brennpuuktgleichung
§5. Der Fünf-Punkte-Satz und der Satz von PASCAL ............. 232
1. Problemstellung 2. Schnittpunkte 3. Ein Polynom zweiten Grades 4. Fünf-
Punkte-Satz 5. Satz von PASCAL 6. Beschreibung mit Determinanten
Kapitel
VI.
Grundlagen
der ebenen
projektíven
Geometrie.......... 241
Einleitung ......................................................... 241
§1. Projektive Ebenen ............................................ 242
1. Die Axiome 2. Die projektive Ebene über
К
3. Die Konstruktion einer
projektíven
Ebene 4. Die Konstruktion einer affinen Ebene 5. Projektive
Isomorphismen 6. Dualität
§2. Die projektive Ebene über einem Körper...................... 250
1. Punkte und Geraden 2. Die Automorphismengruppe 3. Dualität 4. Der
Satz von
Desargues
5, Der Satz von Pappus/Pascal
§3. Die reelle projektive Ebene ................................... 259
1. Das Vektorprodukt 2. Quadriken 3. Der Fünf-Punkte-Satz 4. Tangenten
5. Der Satz von PASCAL
Literaturverzeichnis ............................................... 269
Symbolverzeichnis ................................................. 273
Sachverzeichnis.................................................... 275
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