Lineare Algebra
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München
Oldenbourg
2009
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Vorwort
V
I
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1
1 Der Begriff des Körpers 3
1.1 Mengen .................................................................... 3
1.2 Körperaxiome .............................................................. 3
1.3 Grandlegende Eigenschaften von Körpern ................................... 5
1.4 Teilkörper.................................................................. 7
1.5 Aufgaben................................................................... 8
1.5.1 Grundlegende Aufgaben..................................................... 8
1.5.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 8
1.5.3
Maple
...................................................................... 8
2 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 9
2.1 Lineare Gleichungssysteme.................................................. 9
2.2 Matrizen, Transponierte, Zeilen- und Spaltenvektoren........................ 10
2.3 Lösungen und Äquivalenz von Gleichungssystemen.......................... 11
2.4 Aufgaben................................................................... 12
3 Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme 13
3.1 Matrizen in Treppenform.................................................... 13
3.2 Lösungen eines Gleichungssystems in reduzierter Treppenform............... 15
3.3 Elementare Zeilenumformungen............................................. 16
3.4 Transformation auf reduzierte Treppenform.................................. 17
3.5 Die Struktur des Lösungsraums.............................................. 18
3.5.1 Reduktion auf homogene Gleichungssysteme................................. 19
3.5.2 Homogene Gleichungssysteme .............................................. 19
3.6 Eindeutig lösbare Gleichungssysteme und invertierbare Matrizen ............. 21
3.7 Aufgaben................................................................... 23
3.7.1 Grundlegende Aufgaben..................................................... 23
3.7.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 24
3.7.3
Maple
...................................................................... 24
4 Multiplikation von Matrizen 25
4.1 Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor......................... 25
4.2 Iterierte Multiplikationen und lineare Substitutionen.......................... 26
4.3 Allgemeine Definition der Matrizenmultiplikation............................ 27
4.4 Die
Inverse
einer Matrix .................................................... 28
4.5 Geometrische Interpretation................................................. 30
4.6 Aufgaben................................................................... 33
4.6.1 Grundlegende Aufgaben..................................................... 33
4.6.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 33
4.6.3
Maple
...................................................................... 34
II
Vektorräume und lineare Abbildungen 35
5 Gruppen, Ringe und Vektorräume 37
5.1 Gruppen.................................................................... 37
5.2 Ringe....................................................................... 38
5.3 Vektorräume................................................................ 40
5.4 Aufgaben................................................................... 43
5.4.1 Grundlegende Aufgaben..................................................... 43
5.4.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 44
6 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension 45
6.1 Lineare Unabhängigkeit und Basen für allgemeine Vektorräume .............. 45
6.2 Endlich-dimensionale Vektorräume.......................................... 47
6.3 Aufgaben................................................................... 50
6.3.1 Grundlegende Aufgaben..................................................... 50
6.3.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 51
7 Unterräume von endlich-dimensionalen Vektorräumen 53
7.1 Summe und Durchschnitt von Unterräumen.................................. 53
7.2 Geometrische Interpretation................................................. 57
7.2.1 Geometrische Interpretation der Unterräume für
К
=
R......................
57
7.2.2 Veranschaulichung der Dimensionsformel.................................... 57
7.2.3 Höherdimensionale Räume.................................................. 57
7.3 Anwendungen in der Kodierungstheorie (im Fall |
К
< oo) .................. 58
7.3.1 Codes, Fehlererkennung und Hamming-Abstand ............................. 58
7.3.2 Lineare Codes.............................................................. 59
7.4 Aufgaben................................................................... 61
7.4.1 Grandlegende Aufgaben..................................................... 61
7.4.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 61
7.4.3
Maple
...................................................................... 62
8 Lineare Abbildungen 63
8.1 Abbildungen................................................................ 63
8.2 Strukturerhaltende Abbildungen............................................. 65
8.3 Grandlegende Eigenschaften linearer Abbildungen........................... 68
8.4 Beschreibung von linearen Abbildungen durch Matrizen...................... 70
8.5 Der Rang einer Matrix...................................................... 74
8.6 Aufgaben................................................................... 76
8.6.1 Grandlegende Aufgaben..................................................... 76
8.6.2 Weitergehende Aufgaben.................................................... 78
8.6.3
Maple
...................................................................... 79
III
Determinanten und Eigenwerte 81
9 Determinanten 83
9.1 Vorbemerkungen über Invertierbarkeit von Matrizen ......................... 83
9.2 Determinantenformen....................................................... 84
9.3 Das Signum einer Permutation............................................... 86
9.4 Allgemeine Definition der Determinante..................................... 88
9.4.1 Existenz und Eindeutigkeit der Determinantenform........................... 88
9.4.2 Grundlegende Eigenschaften der Determinante............................... 90
9.4.3 Die Determinante eines Endomorphismus.................................... 92
9.5 Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.................................... 92
9.5.1 Die Adjungierte einer quadratischen Matrix.................................. 93
9.5.2 Laplace-Entwicklung und Cramer sche Regel................................ 94
9.6 Eine Anwendung:
Die Vandermonde sche Determinante und Polynominterpolation.............. 96
9.6.1 Beweis der Formel für die Vandermonde sche Determinante.................. 96
9.6.2 Anwendung auf Polynominterpolation....................................... 97
9.7 Eine Anwendung auf nicht-lineare algebraische Gleichungssysteme........... 98
9.8 Aufgaben...................................................................¡00
9.8.1 Grundlegende Aufgaben.....................................................1°O
9.8.2 Weitergehende Aufgaben....................................................102
9.8.3
Maple
......................................................................102
10 Eigenwerte und Eigenvektoren 103
10.1 Vorbemerkungen und einführende Beispiele..................................103
10.1.1 Potenzrechnung und Polynomauswertung im Matrixring Mn(K)..............103
10.1.2 Die Gleichung x2 = 1 im Matrixring Mn{K) ................................104
10.1.3 Ausblick auf die Anwendung auf lineare Differentialgleichungen..............106
10.2 Eigenräume, Eigenvektoren, Eigenwerte und charakteristisches Polynom......107
10.2.1 Eigenräume und Diagonalisierbarkeit........................................108
10.2.2 Das charakteristische Polynom ..............................................109
10.2.3 Berechnung von Eigenwerten und Eigenräumen, explizite Diagonalisierang . ..112
10.3 Aufgaben...................................................................113
10.3.1 Grandlegende Aufgaben.....................................................113
10.3.2 Weitergehende Aufgaben....................................................114
10.3.3
Maple
......................................................................114
11 Die Jordan sche Normalform einer quadratischen Matrix 117
11.1 Multiplikation von Blockmatrizen...........................................117
11.2 Nilpotente Matrizen — die Gleichung xk — 0 im Matrixring Mn (K)...........118
11.3 Verallgemeinerte Eigenräume und Triangulierbarkeit.........................121
11.4 Die Jordan sche Normalform................................................125
11.4.1 Ein Beispiel zur Berechnung der Jordan sehen Normalform...................126
11.5 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen..............................129
11.5.1 Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung......................129
11.5.2 Die lineare Differentialgleichung
и
-ter
Ordnung..............................130
11.6 Aufgaben...................................................................131
11.6.1 Grandlegende Aufgaben.....................................................131
11.6.2 Weitergehende Aufgaben....................................................132
11.6.3
Maple
......................................................................132
IV
Skalarprodukte und Bilinearformen 133
12 Skalarprodukte und orthogonale Matrizen 135
12.1 Vorbemerkungen über Längen- und Winkelmessung
im Anschauungsraum.......................................................135
12.1.1 Die Länge eines Vektors ....................................................135
12.1.2 Von der Länge zur Orthogonalprojektion.....................................135
12.1.3 Eigenschaften des Skalarprodukts in V3(K) ..................................137
12.2
Skalarprodukt, ON-Systeme
und das Orthonormalisierungsverfahren von
Gram-Schmidt
..............................................................137
12.3 Orthogonale Matrizen.......................................................140
12.3.1 Definition und wichtigste Eigenschaften orthogonaler Matrizen...............140
12.3.2 Orthogonale Matrizen in Dimension 2 .......................................142
12.3.3 Orthogonale Matrizen in Dimension 3 .......................................142
12.3.4 Eine Matrix-Faktorisierung..................................................143
12.4 Beste Näherungslösung eines Gleichungssystems — die Methode der kleinsten
Quadrate ...................................................................143
12.4.1 Die Orthogonalprojektion auf einen Unterraum...............................144
12.4.2 Die Methode der kleinsten Quadrate.........................................144
12.4.3 Effektive Berechnung von xo durch das Gram-Schmidt-Verfahren.............145
12.4.4 Die Anwendung auf Polynominterpolation...................................145
12.5 Aufgaben...................................................................145
12.5.1 Grundlegende Aufgaben.....................................................145
12.5.2 Weitergehende Aufgaben....................................................147
12.5.3
Maple
......................................................................147
13 Bilinearformen 149
13.1 Beschreibung einer Bilinearform durch eine Matrix...........................149
13.2 Symmetrische Bilinearformen und symmetrische Matrizen....................151
13.2.1 Orthogonales Komplement und Orthogonalbasis .............................151
13.2.2 Symmetrische Bilinearformen und symmetrische Matrizen über den reellen
Zahlen......................................................................154
13.3 Aufgaben...................................................................157
13.3.1 Grundlegende Aufgaben.....................................................157
13.3.2 Weitergehende Aufgaben....................................................158
V
Affine und
projektive
Geometrie 159
14 Affine Räume 161
14.1 Die Beziehung zwischen affinen Räumen und Vektorräumen .................161
14.2 Unterräume eines affinen Raums.............................................164
14.2.1 Der Lösungsraum eines Gleichungssystems ist ein affiner Unterraum..........165
14.2.2 Der von einer Teilmenge aufgespannte Unterraum............................165
14.3 Die Automorphismengruppe eines affinen Raums.............................166
14.4 Affine Quadriken und Kegelschnitte .........................................168
14.5 Affine Räume mit Skalarprodukt und die euklidische Bewegungsgruppe.......171
14.6 Aufgaben...................................................................172
15
Projektive
Räume 173
15.1 Die
projektive
Ebene über
К................................................
173
15.2 Der
projektive
Raum P(m, K) und seine Projektivitäten......................175
15.3 Quadriken in P(m, K)......................................................176
15.3.1 Quadratische Formen .......................................................176
15.3.2 Quadriken..................................................................178
15.3.3 Normalform von Quadriken über
R
..........................................180
15.4 Aufgaben...................................................................182
15.4.1 Grundlegende Aufgaben.....................................................182
15.4.2 Weitergehende Aufgaben....................................................183
A Die
endlichen Primkörper 185
A. 1 Lösbarkeit von Gleichungen und das Schubfachprinzip.......................185
A.2 Die endlichen Primkörper...................................................185
A.3 Der Körper ¥p der Restklassen
modulo
p
....................................187
В
Endliche
projektive
Ebenen und ihre Inzidenzmatrizen 191
B. 1 Abstrakte
projektive
Ebenen.................................................191
B.2 Ordnung und Inzidenzmatrix einer endlichen
projektíven
Ebene...............192
B.3 Eine
projektive
Ebene der Ordnung 9, welche nicht von der Form
P
(2,
К)
ist. 194
B.3.1 Verifizierung der Axiome
(PEÍ)
und (PE2)..................................195
B.3.2 Vollständige Vierecke in
Π
..................................................198
С
Beispielrechnungen zu den behandelten Algorithmen 201
C.l Lösungen eines Gleichungssystems in reduzierter Treppenform...............201
C.2 Transformation einer Matrix auf reduzierte Treppenform .....................202
C.3 Berechnung der
inversen
Matrix.............................................204
C.4 Berechnung der Determinante einer Matrix...................................205
C.5 Polynominterpolation.......................................................207
C.6 Cramer sche Regel..........................................................209
C.7 Berechnung der Eigenwerte einer Matrix.....................................210
C.8 Berechnung der Eigenräume einer Matrix....................................212
C.9 Diagonalisierung einer Matrix...............................................215
CIO Berechnung der Jordan schen Normalform einer Matrix ......................216
C.l 1 Systeme linearer Differentialgleichungen.....................................217
С
12 Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt ......................218
Inhaltsverzeichnis__________________________________________________________
XV
С.
13 Berechnung einer Matrix-Faktorisierung.....................................220
С
14 Beste Näherungslösung eines Gleichungssystems.............................224
C. 15 Quadratische Gleichungen in mehreren Variablen ............................226
С
16 Diagonalisierang symmetrischer Matrizen mittels orthogonaler Matrizen......227
Index 229
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