Asymptotics for dissipative nonlinear equations

Asymptotics for dissipative nonlinear equations

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Bibliographische Detailangaben
Format: Buch
Sprache:English
Veröffentlicht: Berlin [u.a.] Springer 2006
Schriftenreihe:Lecture notes in mathematics 1884
Schlagworte:
Differentiaalvergelijkingen
Équations d'évolution - Théorie asymptotique
Équations d'évolution non linéaires
Differential equations, Nonlinear > Asymptotic theory
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adam_text CONTENTS 1 PRELIMINARY RESULTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 NOTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 ASYMPTOTIC NOTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 H¨ OLDER INEQUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 YOUNG INEQUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 SOBOLEV IMBEDDING INEQUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.6 AN INTERPOLATION INEQUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.7 CONTRACTION MAPPING PRINCIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.8 GRONWALL*S LEMMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 LOCAL EXISTENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 ESTIMATES FOR LINEAR SEMIGROUPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 ESTIMATES IN WEIGHTED LEBESGUE SPACES . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 ESTIMATES IN THE L 2 - THEORY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5.3 ESTIMATES IN FOURIER SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5.4 ESTIMATES FOR LARGE X AND T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 WEAK NONLINEARITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1 GENERAL APPROACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 ASYMPTOTICS FOR LARGE X AND T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.1 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.2 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.3 NONLINEAR HEAT EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3 DAMPED WAVE EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.1 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.4 SOBOLEV TYPE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.4.1 LOCAL EXISTENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.4.2 SMALL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.4.3 LARGE DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 X CONTENTS 2.5 WHITHAM TYPE EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.5.1 A MODEL EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.5.2 LOCAL EXISTENCE AND SMOOTHING EFFECT . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.5.3 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.5.4 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 2.6 WEAKDISSIPATION, STRONG DISPERSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2.6.1 PRELIMINARY LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.6.2 PROOF OF THEOREM 2.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2.7 A SYSTEM OF NONLINEAR EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.7.1 LOCAL EXISTENCE AND SMOOTHING EFFECT . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.7.2 GLOBAL EXISTENCE AND ASYMPTOTIC BEHAVIOR . . . . . . . . . . . . 163 2.7.3 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.8 COMMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3 CRITICAL NONCONVECTIVE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 3.1 GENERAL APPROACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 3.2 FRACTIONAL EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 3.2.1 SMALL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 3.2.2 LARGE DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.3 ASYMPTOTICS FOR LARGE X AND T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3.3.1 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.3.2 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 3.3.3 NONLINEAR HEAT EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 3.4 COMPLEX LANDAU-GINZBURG EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.4.1 PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.4.2 PROOF OF THEOREM 3.22 FOR RE * ( *, * ) 0 . . . . . . . . . . . . . 222 3.4.3 PROOF OF THEOREM 3.22 FOR * =0 , µ 0 . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.4.4 PROOF OF THEOREM 3.22 FOR * =0 ,µ =0 , * 0 . . . . . . . . . 231 3.4.5 ASYMPTOTIC EXPANSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 3.5 DAMPED WAVE EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 3.5.1 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 3.5.2 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 3.6 SOBOLEV TYPE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 3.6.1 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.6.2 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 3.7 WHITHAM TYPE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 3.7.1 PRELIMINARY LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 3.7.2 PROOF OF THEOREM 3.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 3.8 COMMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 4 CRITICAL CONVECTIVE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 4.1 GENERAL APPROACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 4.2 WHITHAM EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 4.2.1 PRELIMINARY LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 4.2.2 PROOF OF THEOREM 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 CONTENTS XI 4.2.3 SELF-SIMILAR SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 4.2.4 PROOF OF THEOREM 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 4.3 KDV-B EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 4.3.1 LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 4.3.2 PROOF OF THEOREM 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 4.3.3 SECOND TERM OF ASYMPTOTICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 4.3.4 PROOF OF THEOREM 4.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 4.4 BBM-B EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 4.4.1 PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 4.4.2 PROOF OF THEOREM 4.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 4.4.3 PROOF OF THEOREM 4.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 4.5 A SYSTEM OF NONLINEAR EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 4.5.1 PRELIMINARY LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 4.5.2 PROOF OF THEOREM 4.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 4.5.3 SELF-SIMILAR SOLUTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 4.5.4 PROOF OF THEOREM 4.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 4.6 COMMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 5 SUBCRITICAL NONCONVECTIVE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 5.1 GENERAL APPROACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 5.2 FRACTIONAL HEAT EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 5.2.1 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 5.2.2 LARGE INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 5.3 WHITHAM TYPE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 5.3.1 PRELIMINARY LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 5.3.2 PROOF OF THEOREM 5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 5.4 DAMPED WAVE EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 5.4.1 SMALL INITIAL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 5.4.2 LARGE DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 5.5 SOBOLEV TYPE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 5.5.1 SMALL DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 5.5.2 LARGE DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 5.6 OSCILLATING SOLUTIONS TO NONLINEAR HEAT EQUATION . . . . . . . . . . . . . 498 5.6.1 LEMMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 5.6.2 PROOF OF THEOREM 5.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 5.7 COMMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 6 SUBCRITICAL CONVECTIVE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 6.1 BURGERS TYPE EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 6.1.1 RAREFACTION WAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 6.1.2 SHOCKWAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 6.1.3 ZERO BOUNDARY CONDITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 6.2 COMMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
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