Lineare Algebra und ihre Anwendungen
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Heidelberg
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2006
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| adam_text | 1 Zur Einführung 1
1.1 Aus der Mengenlehre 2
1.2 Der n dimensionale Raum 6
1.3 Vektoraddition; skalares Vielfaches eines Vektors 8
1.4 Geraden 9
1.5 Die Geradengleichung in der Ebene 11
1.6 Das innere Produkt in der Ebene 15
1.7 Abstand Punkt Gerade 19
1.8 Das innere Produkt im Räume 21
1.9 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren imR . . 25
1.10 Das äußere Produkt im Räume 27
1.11 Ebenen im Räume; Abstand Punkt Ebene 31
1.12 Abbildungen 35
2 Gruppen, Körper, lineare Räume 45
2.1 Gruppen 46
2.2 Körper 52
2.3 Lineare Räume oder Vektorräume 61
2.4 Das Erzeugnis 66
2.5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 68
2.6 Basen in endlichdimensionalen Räumen 72
3 Lineare Abbildungen 79
3.1 Definition und Beispiele 80
3.2 Lineare Abbildungen und Matrizen 82
3.3 Zusammensetzung linearer Abbildungen 87
3.4 Das Gauß sche Eliminationsverfahren 96
3.5 Invertierung linearer Abbildungen 119
3.6 Weiteres zum Eliminationsverfahren 123
3.7 Anwendung: Zur Wärmeleitungsgleichung 128
4 Geometrie linearer Abbildungen 135
4.1 Der Nullraum oder Kern 136
4.2 Das Bild 137
4.3 Basiswechsel 138
4.4 Der Rang einer linearen Abbildung 141
4.5 Direkte Summen; Quotientenräume 147
5 Lineare Abbildungen Determinanten 159
5.1 Determinanten kleiner Matrizen 160
5.2 Permutationen 164
5.3 Determinanten Vorbereitung 168
5.4 Grundeigenschaften von Determinanten 171
5.5 Algorithmisches 176
6 Eigenwerte und Eigenvektoren 185
6.1 Von den Polynomen 186
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: Grundeigenschaften 192
6.3 Das charakteristische Polynom 194
6.4 Eigenräume 198
7 Innere Produkte und Normen 203
7.1 Inneres Produkt reeller Fall 204
7.2 Inneres Produkt komplexer Fall 208
7.3 Normierte Räume 210
7.4 Orthogonalisierung von Vektoren 213
7.5 Orthogonale Basen und andere 218
7.6 Adjunktion, Transposition und Hermite sche Konjugation 221
7.7 Beste Approximation durch Teilräume 227
7.8 Ausgleichsprobleme 230
8 Adjungierte Transformation und selbstadjungierte Abbildungen 237
8.1 Die adjungierte Transformation 238
8.2 Normale Abbildungen 240
8.3 Selbstadjungierte Abbildungen 245
8.4 Orthogonale und unitäre Abbildungen 249
8.5 Bilinearformen und Sesquilinearformen 256
8.6 Synopsis: Gruppen linearer Abbildungen 263
8.7 Klassifikation der Kurven und Flächen zweiter Ordnung 267
8.8 Komplexe Exponentialfunktion und Fourierreihen 272
8.9 Die diskrete Fouriertransformation 277
8.10 Anwendungen der Fouriertransformation 284
9 Normalformen von Matrizen 291
9.1 Die Jordan sche Normalform 292
9.2 Anwendung: Gewöhnliche Differentialgleichungen 299
9.3 Die Singulärwertzerlegung 306
10 Lineare Algebra und partielle Differentialgleichungen 321
10.1 Methode der Finiten Elemente 322
10.2 Die Wärmeleitungsgleichung:
Symmetrie und Variationsprinzip 324
10.3 Die Ritz Galerkin sche Methode 332
10.4 Implementierung des Ritz Galerkin schen Verfahrens 334
10.5 Die von Neumann sche Stabilitätsanalyse 337
11 Numerische Lineare Algebra 347
11.1 Householder Matrizen und die Qfi Zerlegung 349
11.2 Normen: Querverbindungen zur Analysis 356
11.3 Matrixnormen 361
11.4 Kondition von Gleichungssystemen 366
11.5 Iterative Lösung von Gleichungen: Das Prinzip 368
11.6 Die Verfahren von Jacobi und Gauß Seidel 375
11.7 Das Mehrgitterverfahren 379
11.8 Das Verfahren der konjugierten Gradienten 383
11.9 Eigenwerte: Die Potenzmethode 393
11.10 Hessenbergmatrizen 396
11.11 Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen 399
12 Lineare Optimierung 403
12.1 Die Problemstellung 404
12.2 Konvexe Polyeder 411
12.3 Die Simplexmethode 421
Index 427
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1 Zur Einführung 1
1.1 Aus der Mengenlehre 2
1.2 Der n dimensionale Raum 6
1.3 Vektoraddition; skalares Vielfaches eines Vektors 8
1.4 Geraden 9
1.5 Die Geradengleichung in der Ebene 11
1.6 Das innere Produkt in der Ebene 15
1.7 Abstand Punkt Gerade 19
1.8 Das innere Produkt im Räume 21
1.9 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren imR" . . 25
1.10 Das äußere Produkt im Räume 27
1.11 Ebenen im Räume; Abstand Punkt Ebene 31
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2.1 Gruppen 46
2.2 Körper 52
2.3 Lineare Räume oder Vektorräume 61
2.4 Das Erzeugnis 66
2.5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 68
2.6 Basen in endlichdimensionalen Räumen 72
3 Lineare Abbildungen 79
3.1 Definition und Beispiele 80
3.2 Lineare Abbildungen und Matrizen 82
3.3 Zusammensetzung linearer Abbildungen 87
3.4 Das Gauß'sche Eliminationsverfahren 96
3.5 Invertierung linearer Abbildungen 119
3.6 Weiteres zum Eliminationsverfahren 123
3.7 Anwendung: Zur Wärmeleitungsgleichung 128
4 Geometrie linearer Abbildungen 135
4.1 Der Nullraum oder Kern 136
4.2 Das Bild 137
4.3 Basiswechsel 138
4.4 Der Rang einer linearen Abbildung 141
4.5 Direkte Summen; Quotientenräume 147
5 Lineare Abbildungen Determinanten 159
5.1 Determinanten kleiner Matrizen 160
5.2 Permutationen 164
5.3 Determinanten Vorbereitung 168
5.4 Grundeigenschaften von Determinanten 171
5.5 Algorithmisches 176
6 Eigenwerte und Eigenvektoren 185
6.1 Von den Polynomen 186
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: Grundeigenschaften 192
6.3 Das charakteristische Polynom 194
6.4 Eigenräume 198
7 Innere Produkte und Normen 203
7.1 Inneres Produkt reeller Fall 204
7.2 Inneres Produkt komplexer Fall 208
7.3 Normierte Räume 210
7.4 Orthogonalisierung von Vektoren 213
7.5 Orthogonale Basen und andere 218
7.6 Adjunktion, Transposition und Hermite'sche Konjugation 221
7.7 Beste Approximation durch Teilräume 227
7.8 Ausgleichsprobleme 230
8 Adjungierte Transformation und selbstadjungierte Abbildungen 237
8.1 Die adjungierte Transformation 238
8.2 Normale Abbildungen 240
8.3 Selbstadjungierte Abbildungen 245
8.4 Orthogonale und unitäre Abbildungen 249
8.5 Bilinearformen und Sesquilinearformen 256
8.6 Synopsis: Gruppen linearer Abbildungen 263
8.7 Klassifikation der Kurven und Flächen zweiter Ordnung 267
8.8 Komplexe Exponentialfunktion und Fourierreihen 272
8.9 Die diskrete Fouriertransformation 277
8.10 Anwendungen der Fouriertransformation 284
9 Normalformen von Matrizen 291
9.1 Die Jordan'sche Normalform 292
9.2 Anwendung: Gewöhnliche Differentialgleichungen 299
9.3 Die Singulärwertzerlegung 306
10 Lineare Algebra und partielle Differentialgleichungen 321
10.1 Methode der Finiten Elemente 322
10.2 Die Wärmeleitungsgleichung:
Symmetrie und Variationsprinzip 324
10.3 Die Ritz Galerkin'sche Methode 332
10.4 Implementierung des Ritz Galerkin'schen Verfahrens 334
10.5 Die von Neumann'sche Stabilitätsanalyse 337
11 Numerische Lineare Algebra 347
11.1 Householder Matrizen und die Qfi Zerlegung 349
11.2 Normen: Querverbindungen zur Analysis 356
11.3 Matrixnormen 361
11.4 Kondition von Gleichungssystemen 366
11.5 Iterative Lösung von Gleichungen: Das Prinzip 368
11.6 Die Verfahren von Jacobi und Gauß Seidel 375
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11.10 Hessenbergmatrizen 396
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12 Lineare Optimierung 403
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