Theoretische Physik: Mechanik
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2006
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| Schriftenreihe: | Theoretische Physik / Eckhard Rebhan
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Anmerkungen zur Theoretischen Physik 1
1 Vorbemerkungen zur Mechanik 6
2 Newtons Grundgesetze der Mechanik 8
2.1 Grandannahmen und Vorbetrachtungen ................. 8
.1 Absoluter Raum......................... 8
.2 Absolute Zeit........................... 9
.3 Wichtige Idealisierungen der klassischen Mechanik...... 9
.4 Kinematische Vorbetrachtungen................. 10
.5 Galilei-Transformation...................... 14
.6 Bahncharakterisierung durch Differentialgleichungen..... 16
2.2 Newtonsche Bewegungsgesetze...................... 18
2.2.1 Newtons vier Grundgesetze................... 19
2.2.2 Diskussion der Grundgesetze.................. 21
2.3 Newtons Grundgesetze der Gravitation.................. 30
2.3.1 Schwerkraft und schwere Masse................. 30
2.3.2 Schwerefeld und Newtonsches Gravitationsgesetz....... 31
2.3.3 Newtonsche Feldgleichung für das Schwerefeld........ 33
2.3.4 Gravitationsfeld einer homogenen Kugel............ 34
2.4 Äquivalenz von träger und schwerer Masse ............... 36
2.5 Schlussbemerkung und Ausblick..................... 38
Aufgaben..................................... 39
3 Folgerungen aus den Grundgesetzen 44
3.1 Einzelner Massenpunkt.......................... 44
.1 Arbeit .............................. 44
.2 Kinetische Energie und Energiesatz............... 45
.3 Potenzial und Energieerhaltung in konservativen Kraftfeldern . 45
.4 Eigenschaften konservativer Kraftfelder............. 47
.5 Drehimpuls, Drehmoment und Drehimpulssatz......... 48
3.2 Systeme freier Massenpunkte....................... 49
3.2.1 Definition von Bewegungsgrößen................ 50
3.2.2 Impulssatz und Impulserhaltung................. 52
3.2.3 Drehimpulssatz und Drehimpulserhaltung ........... 53
3.2.4 Energiesatz und Energieerhaltung................ 55
3.2.5 Konfigurationsraum....................... 57
3.2.6 Integrationsproblem für TV Punktmassen............ 58
Inhaltsverzeichnis
3.3 Newtonsche Mechanik in rotierenden Bezugsystemen.......... 60
3.3.1 Mathematische Beschreibung rotierender Systeme....... 61
3.3.2 Transformation der Bewegungsgleichungen........... 62
Aufgaben..................................... 65
4 Anwendungen der Newtonschen Mechanik 72
4.1 Einzelner Massenpunkt.......................... 72
4.1.1 Eindimensionale Bewegung ohne Reibung........... 72
4.1.2 Linear gedämpfter harmonischer Oszillator........... 77
4.1.3 Erzwungene Schwingungen des gedämpften harmonischen
Oszillators............................ 79
4.1.4 Phasenebene der eindimensionalen Bewegung......... 81
4.1.5 Bewegung eines Massenpunkts im Zentralfeld......... 85
Exkurs 4.1 : Potenziale mit ausschließlich geschlossenen Bahnen .... 90
4.1.6 Kepler-Problem......................... 93
4.1.7 Rutherfordsche Streuformel................... 99
Exkurs 4.2:
Inverses
Streuproblem.................... 105
4.2 Systeme mehrerer Massenpunkte..................... 107
4.2.1 Zwei-Körper-Problem...................... 107
4.2.2 Restringiertes Drei-Körper-Problem............... 113
4.2.3 Spezielle Lösungen des Drei-Körper-Problems......... 114
4.2.4 Lösung des Drei-Körper-Problems durch Reihenentwicklung . 117
Aufgaben..................................... 118
5 Lagrangesche Mechanik 130
5.1 Zwangsbedingungen........................... 130
5.1.1 Klassifizierung der Zwangsbedingungen............ 133
5.2 Dynamik von Massenpunkten unter Zwangsbedingungen........ 136
5.2.1 Einzelner Massenpunkt..................... 136
5.2.2 System mehrerer Massenpunkte................. 141
5.3 Virtuelle Verriickungen.......................... 143
5.4 D^Alembertsches Prinzip......................... 144
5.4.1 Lagrange-Gleichungen erster Art für Systeme von Massenpunkten 145
5.4.2 Arbeitsleistung der Zwangskräfte................ 148
Exkurs 5.1: Ableitung des d^lembertschen Prinzips.......... 149
5.5 Prinzip der virtuellen Arbeit ....................... 152
5.6 Generalisierte Koordinaten........................ 154
5.6.1 Ein Massenpunkt unter holonomen Zwangsbedingungen . ... 155
5.6.2 System von Massenpunkten unter holonomen Zwangsbedin¬
gungen .............................. 156
5.7 D^Alembertsches Prinzip in generalisierten Koordinaten ........ 160
5.8 Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten......... 163
5.8.1 Holonome Zwangsbedingungen und Lagrange-Gleichungen
zweiter Art............................ 163
5.8.2 Nachträgliche Berechnung der Zwangskräfte.......... 168
5.8.3 Lagrange-Gleichungen gemischten Typs............ 169
Inhaltsverzeichnis xi
5.9 Generalisierte Koordinaten für starre Körper............... 170
5.9.1 Einzelner starrer Körper..................... 171
5.9.2 Starre Körper unter äußeren Zwangsbedingungen ....... 172
5.10 Reibungskräfte.............................. 174
5.10.1 Berührungskräfte......................... 174
5.10.2 Reibungskräfte im Rahmen der Lagrangeschen Mechanik . . . 177
5.11 Integrationsproblem Lagrangescher Systeme............... 179
5.12 Erhaltungssätze der Lagrangeschen Mechanik.............. 179
5.12.1 Erhaltungssätze bei zyklischen Variablen............ 179
5.12.2 Verallgemeinerter Energiesatz.................. 180
5.12.3 Zusammenhang mit den Erhaltungssätzen der Newton-Mechanik 181
5.13 Symmetrien und Erhaltungssätze..................... 184
5.13.1 Homogenität und Isotropie in Raum und Zeit.......... 184
5.13.2 Noether-Theorem........................ 186
5.14 Zeitisotropie und mechanische Reversibilität............... 188
5.15 Mechanische Ähnlichkeit......................... 189
5.16 Virialsatz ................................. 191
Aufgaben..................................... 193
6 Starre Körper 206
6.1 Kinematik des freien starren Körpers................... 206
6.2 Trägheitstensor, Trägheitsmoment und Trägheitsellipsoid........ 208
6.2.1 Kinetische Energie........................ 208
6.2.2 Trägheitstensor.......................... 209
6.2.3 Drehimpuls............................ 210
6.2.4 Hauptachsentransformation................... 210
6.2.5 Trägheitsmomente........................ 211
6.2.6 Trägheitsellipsoid........................ 212
6.2.7 Rotation um den Schwerpunkt.................. 213
6.2.8 Kreisel.............................. 214
6.3 Statik des starren Körpers......................... 215
6.3.1 Gleichgewichtsbedingungen................... 215
6.3.2 Äquivalenz von Kräften..................... 216
6.3.3 Zwangskräfte........................... 218
6.4 Koordinatenfreie Form der Bewegungsgleichungen........... 218
6.5 Eulersche Kreiselgleichungen und Winkel................ 220
6.5.1 Berechnung des Rotationszustands............... 220
6.5.2 Eulersche Winkel ........................ 221
6.6 Lagrangesche Bewegungsgleichungen zweiter Art............ 223
6.6.1 Freier starrer Körper....................... 223
6.6.2 In einem Punkt festgehaltener starrer Körper.......... 225
6.7 Integration der Bewegungsgleichungen in speziellen Fällen....... 226
6.7.1 Kräftefreier Kreisel ....................... 226
6.7.2 Kreisel unter Einwirkung äußerer Kräfte............ 234
Aufgaben..................................... 241
XU
Inhaltsverzeichnis
7 Hamiltonsche Theorie 248
7.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen.................. 248
7.2 Zyklische Variablen und Erhaltungssätze................. 253
7.3 Variationsprinzipien............................ 255
7.3.1 Euler-Gleichungen der Variationsrechnung........... 256
7.3.2 Hamiltonsches Prinzip...................... 258
7.3.3 Variationsprinzip der Hamiltonschen Gleichungen....... 259
7.3.4 Variationsprinzip von Maupertuis................ 260
7.4 Kanonische Transformationen...................... 262
7.4.1 Punkttransformationen...................... 262
7.4.2 Erzeugende Gleichung kanonischer Transformationen..... 263
7.4.3 Spezielle erzeugende Funktionen und kanonische Transfor¬
mationen ............................. 265
7.5 Poisson-Klammern............................ 268
7.6 Pseudo-kanonische Transformationen.................. 271
Exkurs 7.1 : Symplektische Formulierung der Mechanik......... 273
Aufgaben..................................... 277
8 Theorie von
Hamilton
und Jacobi 284
8.1
Hamilton-
Jacobi-Gleichung und Satz von Jacobi............. 284
8.2 Reduzierte
Hamilton-
Jacobi-Gleichung.................. 286
8.3 Erweiterung und Reduktion des Phasenraums.............. 288
8.3.1 Erweiterung des Phasenraums.................. 288
8.3.2 Reduktion des Phasenraums................... 289
8.4 Separation der Variablen......................... 290
8.5 Wirkungs-und Winkelvariablen ..................... 295
8.5.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad................ 295
8.5.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden............. 299
8.6 Satz von Liouville für
integrable
Systeme................ 304
8.7 Phasenraumtrajektorien integrabler Systeme............... 309
8.8 Adiabatische Invarianten......................... 311
Aufgaben..................................... 316
9 Nicht-integrable Hamiltonsche Systeme und deterministisches Chaos 323
9.
ł
Klassische Störungsrechnung....................... 324
9.2 Störung quasi-periodischer Trajektorien: KAM-Theorem........ 328
9.3
Poincaré-Abbildung
............................ 332
9.4 Störung periodischer Trajektorien .................... 334
9.4.1 Fixpunktsatz von
Poincaré
und Birkhoff............ 334
9.4.2 Stabilität überlebender Fixpunkte................ 336
9.4.3 Hyperbolische Fixpunkte und homokline Punkte........ 339
9.5 Melnikov-Funktion und Existenz homokliner Punkte.......... 346
9.6 Bäcker-Transformation.
Bernoulli-
Verschiebung und Chaos....... 352
9.7 Hufeisen-Abbildung............................ 358
9.8 Hufeisenartige Abbildung im homoklinen Gewirr............ 362
9.9 Liapunov-Exponenten........................... 363
Inhaltsverzeichnis xiii
9.10 Chaos und Nicht-Integrabilität...................... 369
9.11 Zunehmendes Chaos am Beispiel der Schaukel ............. 369
9.12 Numerische Berechnungen chaotischer Orbits.............. 374
Aufgaben..................................... 378
Sachregister 381
Symbolverzeichnis 389
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