Euklids Erbe ein Streifzug durch die Geometrie und ihre Geschichte
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Darmstadt
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Vorwort 9
Anstelle einer Einleitung: einige Schlaglichter 12
1 Geometrie - die erste Wissenschaft? 16
1.1 Thaies: der Anfang.......................... 16
1.2 Die rutschende Leiter......................... 20
1.3 Weitere Sätze von Thaies....................... 26
1.4 Griechische
1.5 Euklids Elemente........................... 32
2 Nicht alles ist Zahl 43
2.1
2.2 Ist alles Zahl?............................. 45
2.3 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt................ 51
2.4 Zahlen, Zahlen, Zahlen........................ 57
2.5 Ein Satz des Eudoxos......................... 60
3
3.1 Der Satz und seine Geschichte.................... 62
3.2 Exkurs: Zur Geschichte der Schulgeometrie............. 67
3.3 Weitere Beweise zum Satz des
3.3.1 Zerlegungsbeweis....................... 69
3.3.2 Ergänzungsbeweis....................... 70
3.3.3 Scherungsbeweis ....................... 73
3.3.4 Ähnlichkeitsbeweis...................... 75
3.3.5 Beweis mit analytischer Geometrie............. 77
3.3.6 Arithmetischer Beweis.................... 77
3.4 Zwei Anwendungen.......................... 78
4 Die Platonischen Körper 80
4.1 Feuer, Erde, Wasser, Luft ...................... 80
4.2 Euklids Beweis ............................ 82
4.3 Die Euler sehe Polyederformel.................... 84
6 Inhaltsverzeichnis
5 Die Kugel 89
5.1
5.2 Das Prinzip der
5.3 Geometrie auf der Kugel....................... 99
5.4 Kugel und Zylinder.......................... 102
5.5 Die stereographische Projektion................... 108
6 Die Erde 111
6.1 Die Tageslänge ............................ 111
6.2
6.3 Der Horizont ............................. 118
6.4 Die Umlaufbahn der Erde...................... 119
6.5 Landkarten.............................. 121
6.5.1 Einführung.......................... 121
6.5.2 Die Zylinderprojektion.................... 123
6.5.3 Die stereographische Projektion............... 125
6.5.4 Das Vierfarbenproblem.................... 129
7 Sphärenklänge 130
7.1 Ein kleiner Abstecher in die Astronomie .............. 130
7.2 Das Sehnenviereck .......................... 140
7.2.1 Bekannte Sätze........................ 140
7.2.2 Der Satz des Ptolemäus und die Sehnentafeln....... 143
7.3 Quadrat und Rechteck........................ 149
8 Verhältnisse 152
8.1 Harmonische Teilung einer Strecke.................. 152
8.2 Teilverhältnisse im Dreieck...................... 156
8.3 Mittelwerte.............................. 162
8.4 Der Kreis des Apollonios....................... 167
8.5 Apollonios von Perge......................... 170
9 „Geht nicht gibt s nicht: Alles lässt sich konstruieren 173
9.1 Gauß und die regelmäßigen Vielecke................. 174
9.2 Die Dreiteilung des Winkels..................... 178
9.3 Das
9.4 Die Quadratur des Kreises...................... 185
9.4.1 Die Quadratrix des Hippias................. 185
9.4.2 Die Spirale des
9.4.3
9.5 Faltungen............................... 194
Inhaltsverzeichnis
7
10 Rund um die euklidische Ebene 200
10.1 Die absolute Geometrie........................ 200
10.2 Das euklidische Parallelenaxiom................... 203
10.3 Die hyperbolische Geometrie..................... 206
Literaturverzeichnis 214
Abbildungsnachweis 218
Index 219
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort 9
Anstelle einer Einleitung: einige Schlaglichter 12
1 Geometrie - die erste Wissenschaft? 16
1.1 Thaies: der Anfang. 16
1.2 Die rutschende Leiter. 20
1.3 Weitere Sätze von Thaies. 26
1.4 Griechische
1.5 Euklids Elemente. 32
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2.2 Ist alles Zahl?. 45
2.3 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt. 51
2.4 Zahlen, Zahlen, Zahlen. 57
2.5 Ein Satz des Eudoxos. 60
3
3.1 Der Satz und seine Geschichte. 62
3.2 Exkurs: Zur Geschichte der Schulgeometrie. 67
3.3 Weitere Beweise zum Satz des
3.3.1 Zerlegungsbeweis. 69
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3.3.5 Beweis mit analytischer Geometrie. 77
3.3.6 Arithmetischer Beweis. 77
3.4 Zwei Anwendungen. 78
4 Die Platonischen Körper 80
4.1 Feuer, Erde, Wasser, Luft . 80
4.2 Euklids Beweis . 82
4.3 Die Euler'sehe Polyederformel. 84
6 Inhaltsverzeichnis
5 Die Kugel 89
5.1
5.2 Das Prinzip der
5.3 Geometrie auf der Kugel. 99
5.4 Kugel und Zylinder. 102
5.5 Die stereographische Projektion. 108
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6.1 Die Tageslänge . 111
6.2
6.3 Der Horizont . 118
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6.5 Landkarten. 121
6.5.1 Einführung. 121
6.5.2 Die Zylinderprojektion. 123
6.5.3 Die stereographische Projektion. 125
6.5.4 Das Vierfarbenproblem. 129
7 Sphärenklänge 130
7.1 Ein kleiner Abstecher in die Astronomie . 130
7.2 Das Sehnenviereck . 140
7.2.1 Bekannte Sätze. 140
7.2.2 Der Satz des Ptolemäus und die Sehnentafeln. 143
7.3 Quadrat und Rechteck. 149
8 Verhältnisse 152
8.1 Harmonische Teilung einer Strecke. 152
8.2 Teilverhältnisse im Dreieck. 156
8.3 Mittelwerte. 162
8.4 Der Kreis des Apollonios. 167
8.5 Apollonios von Perge. 170
9 „Geht nicht" gibt's nicht: Alles lässt sich konstruieren 173
9.1 Gauß und die regelmäßigen Vielecke. 174
9.2 Die Dreiteilung des Winkels. 178
9.3 Das
9.4 Die Quadratur des Kreises. 185
9.4.1 Die Quadratrix des Hippias. 185
9.4.2 Die Spirale des
9.4.3
9.5 Faltungen. 194
Inhaltsverzeichnis
7
10 Rund um die euklidische Ebene 200
10.1 Die absolute Geometrie. 200
10.2 Das euklidische Parallelenaxiom. 203
10.3 Die hyperbolische Geometrie. 206
Literaturverzeichnis 214
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