Verständnis lehren Handbuch Mathematik der gymnasialen Oberstufe
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart [u.a.]
Klett
2005
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
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Vorwort 8
Analysis
1 Funktionen 9
Definition 10 ■
Elementare Funktionen 11
Zerlegen von Funktionen 12
Historisches 12
Generelle unterrichtliche
Probleme 14
Die Begriffsbildung 15
Was
veranlaşst
die Begriffs¬
bildung? 16
Vom Sinn des Funktionsbegriffs 18
Schreib- und Sprechweise 19
Veranschaulichung 20
2 Grenzwerte 21
Definition 22
Grenzwertsätze 22
Historisches 23
Generelle unterrichtliche
Probleme 24
Anlass der Begriffsbildung 26
Inhalt der Definition 27
Formulierung der Definition 27
Schreib- und Sprechweise 28
Vorschlag: Ein möglicher unter¬
richtlicher Weg zum Grenzwert 28
Bestimmung von Grenzwerten 33
Spezielle Grenzwerte 35
Existenz. Die Zahl
e
36
Grenzwerte in realem Bezug 37
3 Stetigkeit 41
Definition 42
Unstetigkeit 43
Erste Folgerungen 43
Stetigkeit zusammengesetzter
Funktionen 44
Historisches 44
Generelle unterrichtliche
Probleme 46
Von der Zwischenwerteigenschaft
zur Stetigkeit 46
Abgrenzung gegen Unstetig¬
keit 48
Veranschaulichung der
Stetigkeit 49
Veranschaulichung eines Existenz¬
satzes 49
Stetigkeit in der Schulanalysis? 50
6 Ableitung 51
Das Grundproblem der
Analysis
52
Definition der Ableitung 52
Zerlegungsformel.
Differenziale
53
Tangente. Tangentenfunktion 53
Differenzierbarkeit und Stetigkeit 54
Historisches 55
Generelle unterrichtliche
Probleme 58
Vorschlag zur Hinführung 59
Schreib- und Sprechweise 61
Festigung der Definition. Ableitung
in realem Bezug 61
Die Frage der Existenz 66
Erstes Problemlösen mit
f
68
Von
f
zu
f
70
5 Integral 73
Definition 74
Ergänzende Definitionen 75
Eigenschaften von Integralen 76
Die Frage der Existenz 76
Berechnung von Integralen 77
Historisches 78
Generelle unterrichtliche
Probleme 79
Weicher Integralbegriff ist der
Schule angemessen? 81
Zur Hinführung 81
Veranschaulichung der Über¬
legungen 82
Definition des Integrals 83
Festigung der Definition 84
Erm ittel
n vo n
I ntegra
len
88
Inhalt
Schreib- und Sprechweise 89
Von
f
(a)
mittels
f
zu
f (b).
Der
Hauptsatz 91
6
Regeln zur Bestimmung von Ablei¬
tungen und Stammfunktionen 93
Stammfunktionen 94
Der methodische Grundgedanke 95
Grundfunktionen 95
Regeln für das Ableiten zusammen¬
gesetzter Funktionen 96
Regeln für das Aufsuchen von
Stammfunktionen zusammengesetzter
Funktionen 96
Historisches 98
Generelle unterrichtliche
Probleme 99
Spezielle Funktionen 99
Summen- und Differenzregel 103
Faktorregel 104
Produktregel 104
Reziprokenregel 106
Quotientenregel 107
Kettenregel 107
Inversenregel 111
Anmerkung zur Formulierung der
Integrationsregeln 113
7 Anwendung der Infinitesimalrechnung
bei der Untersuchung und
Bestimmung von Funktionen 115
Vorbemerkung 116
Lokales Verhalten einer Funktion 117
Globales Verhalten einer Funktion 117
Integralfunktionen 118
Integralfunktionen und Stamm¬
funktionen 119
Der Hauptsatz 119
Differenziation und Integration als
inverse
Operationen 120
Historisches 120
Generei Ie unterrichtliche
Probleme 121
Beschränktheit 122
Monotonie 123
Extremstellen. Extremwerte 123
Wendepunkte 128
Bestimmung von Funktionen 129
8 Infinitesimalrechnung in realem
Bezug 131
Vorab: Grundsätzliches zum Thema
„Größen 132
Mathematische Beschreibung realer
Sachverhalte 136
Infinitesimalrechnung und
Realität 137
Anmerkung zum Thema Anwen¬
dungen 137
Generelle unterrichtliche
Probleme 138
Der springende Punkt: Lokal statt
global 139
Mathematisieren einer gegebenen
Situation 142
Übergang von Größen zu Ma߬
zahlen 143
Von der Näherungssumme zum
Integral 144
Die Frage der Formulierung 145
Umgangssprachliche Fassung
mathematischer Überlegun¬
gen 146
Zur Auswahl der sog. Anwen¬
dungen 147
Anwendungsbeispiele 147
Analytische Geometrie
9 Vorbemerkungen zur „analytischen
Geometrie 159
Wege zum Rechnen in der
Geometrie 160
Koordinatensysteme. Zahlen als
Punktkoordinaten 160
Lagebeziehungen 162
Analytische Geometrie und lineare
Algebra 163
Analytische Geometrie in der
Schule 164
Koordinaten- oder Vektorgeo¬
metrie? 165
Historisches 166
Inhalt
10 Vektoren 169
Vektorräume 170
Lineare Unabhängigkeit 171
Basis. Dimension 171
Punkträume 172
Generelle unterrichtliche
Probleme 173
Pfeilklassen als Veranschaulichung
einer Lagebeziehung 174
Pfeilklassen als Rechenobjekte
geometrischer Art 174
Addieren von Pfeilklassen 175
S-Multiplikation 176
Zum Begriff des Vektorraums 177
Lineare Unabhängigkeit 178
Basis. Koordinaten 179
Dimension 181
Hilfsmittel: Lineare Gleichungs¬
systeme (LGS) 181
11 Verwendung von Vektoren zur
relativen Ortsbestimmung 183
Ortsvektoren 184
Koordinaten 185
Generelle unterrichtliche
Probleme 186
Übergang von Punkten zu
Vektoren 186
Übergang von Vektoren zu Punkten.
Ortsvektoren 187
Darstellung einer Geraden mittels
Koordinaten 189
Darstellung einer Geraden mittels
Vektoren 191
Darstellung einer Ebene im Raum
mittels Vektoren 192
Teilverhältnisse 192
12 Multiplizieren von Vektoren mit
Vektoren 195
Allgemeines zur Einführung einer
Multiplikation 196
Skalares Produkt von Vektoren 197
Vektorielles Produkt von Vektoren 198
Generelle unterrichtliche
Probleme 199
Geometrische Reichweite des
bisherigen Rechnens mit
Vektoren 200
Eine mögliche Hinführung zur
skalaren
Multiplikation 201
° als Rechenart 202
Praxis der
skalaren
Multiplika¬
tion 203
Anwendungen der
skalaren
Multi¬
plikation 204
Vektorielle Multiplikation 209
Anwendungen dervektoriellen
Multiplikation 210
Die vektorielle Multiplikation im
Rahmen der Schulmathematik 213
13 Vektorielle Größen 215
Wirklichkeit und Modell 216
Skalare Größen 216
Gerichtete Größen 217
Vektoren aus der Sicht der Mathe¬
matik 217
Vektoren aus der Sicht der Physik 218
Zusammenhang beider Sicht¬
weisen 219
Gebundene und freie gerichtete
Größen 220
„Ortsvektoren in Mathematik und
Physik 221
Grundsätzliches zur Verwendung von
Vektoren in der Physik 221
Einheiten bei gerichteten Größen 222
Historisches 223
Generelle unterrichtliche
Probleme 223
Wege als gerichtete Größen 225
Geschwindigkeiten als gerichtete
Größen 225
Winkelgeschwindigkeit als
gerichtete Größe 226
Kräfte 227
Physikalische Arbeit 230
Drehmoment 230
Flächenvektoren 231
Inhalt
Stochastik
14 Zufallsexperimente 233
Zufällige Erscheinungen 234
Ergebnismengen 235
Zufallsexperimente 235
Empirisches Gesetz der großen
Zahlen 236
Wahrscheinlichkeiten 237
Ereignisse und ihre Wahrscheinlich¬
keiten 237
Klassische Definition der Wahrschein¬
lichkeit 238
Historisches 239
Generelle unterrichtliche
Probleme 240
Vollständige Liste von Möglich¬
keiten 241
Mehr oder weniger gewiß? 242
Wie gewiß? 243
Zufallsexperimente 245
Ereignisse 247
Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses 248
Gleichverteilungen 248
Hilfsmittel: Kombinatorik 249
15 Berechnen von Wahrscheinlich¬
keiten 255
Ereignisraum. 257
Additionssatz 257
Bedingte Wahrscheinlichkeits¬
verteilung 258
Totale Wahrscheinlichkeit. Satz von
Bayes
258
Unabhängigkeit von Ereignissen 259
Multiplikationssatz für unabhängige
Ereignisse 259
Generelle unterrichtliche
Probleme 260
Rechnen mit Ereignissen 261
Additionssatz 261
Übergang zur bedingten Wahr¬
scheinlichkeitsverteilung 262
Allgemeiner Multipikations-
satz 264
Unabhängigkeit 264
Der spezielle Multiplikations¬
satz 266
Verbindung von
Additions-
und
Multiplikationssatz 267
16 Zufallsvariablen 273
Zufallsvariablen 274
Diskrete Zufallsvariablen 275
Stetige Zufallsvariablen 275
Erwartungswert und Varianz einer
Zufallsvariablen
X
276
Die Zufallsvariable
a
X
+
b
277
Gemeinsame Wahrscheinlichkeits¬
verteilung von zwei Zufallsvariablen
X
und
Y
277
Die Zufallsvariablen X + YundX-Y 278
Generelle unterrichtliche
Probleme 279
Einführung von Zufalls¬
variablen 279
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsvariablen 280
Kennzahlen einer Zufalls¬
variablen 281
Die Zufallsvariable aX +
b
281
Wiederholte Durchführungeines
Zufallsexperiments 282
Gemeinsame Wahrscheinlich¬
keitsverteilung zweier Zufalls¬
variablen 284
Die Summenvariable von
X
und
Y
284
Die Produktvariabie von
X
und
Y
286
17 Spezielle Wahrscheinlichkeits¬
verteilungen 287
Binomialverteilungen 288
PoissoN-Verteilungen 289
Geometrische Verteilungen 290
Hypergeometrische Verteilungen 290
Gauss-
oder Normalverteilungen 291
Grenzwertsätze von
De Moivre und
Laplace
292
Der Zentrale Grenzwertsatz 293
Generelle unterrichtliche
Probleme 295
Auswahl und Abfolge 295
Inhalt
Binomialverteilte Zufalls¬
variablen 296
Das Problem großer n-Werte 297
Lokale Näherung 298
Globale Näherung 300
Normalverteilungen 301
Normalverteilung als „Grenz¬
verteilung 303
Weitere spezielle Wahrscheinlich¬
keitsverteilungen 305
18 Mathematische Statistik 307
Grundgesamtheit. Stichprobe 308
„Grundgesamtheit und „Stichprobe
mathematisch 310
Das Grundproblem 310
Stichprobenfunktionen 311
Schätzen von
μ
bei normalverteilter
Grundgesamtheit 313
Signifikanztest für die Hypothese
μ = μ0
bei normalverteilter Grundge¬
samtheit 314
Hypothese und Gegenhypothese 315
Mögliche Fehler beim Testen 316
Güte eines Tests 317
Generelle unterrichtliche
Probleme 318
Grundgesamtheit 318
Stichprobe 320
Das Grundproblem 320
Das Stichprobenmittel als Zufalls¬
variable 321
Die Stichprobenvarianz als Zufalls¬
variable 322
Stichprobenfunktionen 322
Wahrscheinlichkeitsverteilung des
Stichprobenmittels 323
Grundsätzliches zum Schätzen bzw.
Testen 324
Vertrauensintervalle für
μ
325
Testen von Hypothesen 326
Was heißt „Ergebnis einer Stich¬
probe ? Prüfvariable 327
Was heißt „sehr unwahrscheinlich ?
Irrtumswahrscheinlichkeit 328
Signifikanztest 330
Zweiseitiger und einseitiger
Signifikanztest 330
Zweiseitig oder einseitig? 331
Nullhypothese und Gegen¬
hypothese 332
Wahl der Nullhypothese 332
Entscheidung bei Unsicher¬
heit 333
Das Risiko einer Fehlentschei¬
dung 335
Wie „gut ist ein Test? 337
Register 339
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